Một công ty cần xây một cái kho chứa hàng dạng hình hộp chữ nhật có thể tích \(2000{\mkern 1mu} {{\rm{m}}^3}\) bằng vật liệu gạch và xi măng, đáy là hình chữ nhật có chiều dài bằng hai lần chiều rộng. Người ta cần tính toán sao cho chi phí xây dựng thấp nhất, biết giá vật liệu xây dựng là 500.000 đồng\(/{{\rm{m}}^2}\).

Khi đó, chi phí thấp nhất gần với số nào nhất trong các số dưới đây?

Phương pháp giải

Tính diện tích bề mặt cần xây dựng, khảo sát min–max của hàm vừa tìm được hoặc đánh giá hàm vừa tìm được.

Giải chi tiết

Xét hình hộp chữ nhật\(ABCD.A'B'C'D'\), đáy ABCD có AB=a, AD=2a, cạnh bên AA'=b.

Diện tích một đáy: \({S_{ABCD}} = 2{a^2}\)

Tổng diện tích bốn mặt bên: \({S_{{\rm{xq}}}} = 2ab + 2 \cdot 2ab = 6ab\)

Thể tích hình hộp chữ nhật: \(V = 2{a^2}b = 2000 \Rightarrow ab = \frac{{1000}}{a}\)

Chi phí thấp nhất $\Leftrightarrow$ diện tích toàn phần nhỏ nhất.

Diện tích toàn phần của hình hộp:\({S_{{\rm{tp}}}} = 4{a^2} + 6ab = 4{a^2} + \frac{{6000}}{a}\)

Ta có: \(4{a^2} + \frac{{6000}}{a} = 4{a^2} + \frac{{3000}}{a} + \frac{{3000}}{a} \ge 3\sqrt[3]{{4{a^2} \cdot \frac{{3000}}{a} \cdot \frac{{3000}}{a}}} = 3\sqrt[3]{{36000000}}\)

Dấu “=” xảy ra khi:\(4{a^2} = \frac{{3000}}{a} \Rightarrow a = 5\sqrt[3]{6}\)

Giá trị nhỏ nhất của diện tích toàn phần là: \({S_{\min }} = 100\sqrt[3]{{36}} + \frac{{6000}}{{5\sqrt[3]{6}}}\)

Suy ra chi phí nhỏ nhất là: \(\left( {100\sqrt[3]{{36}} + \frac{{6000}}{{5\sqrt[3]{6}}}} \right) \cdot 500000 \approx 495.289.087\;\)

Cách 2: Khảo sát hàm số: \(y = 4{a^2} + \frac{{6000}}{a}\) tìm min.

Đáp án cần chọn là: D

Mở rộng:

• Công thức tổng quát: Hộp chữ nhật có đáy \(2a \times \;a\), cao \(b\), thể tích \(V = 2{a^2}b\;\) cố định. Diện tích toàn phần:

\(S = 2\left( {2{a^2}} \right) + 2\left( {2ab} \right) + 2\left( {ab} \right) = 4{a^2} + 6ab\)

·        Đưa về một biến bằng ràng buộc thể tích, tối ưu diện tích rồi nhân đơn giá.