Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm\(\forall x \in \mathbb{R}\), hàm số \(f'(x) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\)có đồ thị như hình vẽ.

Số điểm cực trị của hàm số \(y = f\left[ {f'(x)} \right]\)là:

Phương pháp giải

Xác định phương trình hàm số \(y = f'(x)\)dựa vào đồ thị.

Giải chi tiết

Đồ thị hàm số \(y = f'(x)\)đi qua các điểm \(O(0;0),\quad A( - 1;0),\quad B(1;0)\) nên ta có các điểm đó thỏa mãn phương trình hàm số\(y = f'(x)\).

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 0,}\\{ - 1 + a - b + c = 0,}\\{1 + a + b + c = 0.}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 0,}\\{b = - 1,}\\{c = 0.}\end{array}} \right.\)

Suy ra \(f'(x) = {x^3} - x.\)

Đặt \(g(x) = f\left[ {f'(x)} \right] \Rightarrow g'(x) = f''(x) \cdot f'\left[ {f'(x)} \right].\)

Ta có

\(g'(x) = f''(x) \cdot f'\left[ {f'(x)} \right] = [{({x^3} - x)^3} - ({x^3} - x)](3{x^2} - 1).\)

\(g'(x) = x({x^2} - 1)({x^3} - x + 1)(3{x^2} - 1).\)

Do đó \(g'(x) = 0\) có 7 nghiệm phân biệt, tất cả đều là nghiệm đơn

nên hàm số có 7 điểm cực trị.

Đáp án cần chọn là: A

Mở rộng:

·       Công thức tổng quát: Điểm cực trị của \(y = f\left( x \right)\) là nghiệm đơn của \(f'\left( x \right) = 0\;\)nơi \(f'\) đổi dấu. Nếu đồ thị \(f'\left( x \right)\) cắt trục hoành tại \(k\) điểm và đều là cắt (không tiếp xúc) ⇒ số cực trị = \(k\)

·       Đếm giao điểm của \(y = f'\left( x \right)\) với \(Ox\) và kiểm tra đổi dấu—tránh giải phương trình nếu đồ thị đã cho.