Cho phân số \(A = \frac{{{3^{2024}} + {4^{2024}}}}{{{3^{2015}} + {4^{2015}}}}\). Chứng minh rằng \(A\) là phân số tối giản.

Xét \(A = \frac{{{3^{2024}} + {4^{2024}}}}{{{3^{2015}} + {4^{2015}}}}\)

Đặt \(d = \)ƯCLN\(\left( {{3^{2024}} + {4^{2024}},{3^{2025}} + {4^{2025}}} \right)\)

Do đó \[\left\{ \begin{array}{l}{3^{2024}} + {4^{2024}} \vdots d\\{3^{2025}} + {4^{2025}} \vdots d\end{array} \right.\]

Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}4\left( {{3^{2024}} + {4^{2024}}} \right) \vdots d\\{3^{2025}} + {4^{2025}} \vdots d\end{array} \right.\]

Do đó \[{4.3^{2024}} - {3^{2025}} \vdots d\] nên \[{3^{2024}} \vdots d\]

Mà \(3\) là số nguyên tố nên \(3 \vdots d\), suy ra \(d \in \left\{ {1;3} \right\}.\)

Lại có \[\left\{ \begin{array}{l}{3^{2024}} + {4^{2024}} \vdots d\\{3^{2025}} + {4^{2025}} \vdots d\end{array} \right.\] nên \[\left\{ \begin{array}{l}3\left( {{3^{2024}} + {4^{2024}}} \right) \vdots d\\{3^{2025}} + {4^{2025}} \vdots d\end{array} \right.\] suy ra \[{4^{2025}} - {3.4^{2024}} \vdots d\], nên \[{4^{2024}} \vdots d\], do đó \(d = 3\) loại.

Vậy \(d = 1\)tức là \(A = \frac{{{3^{2024}} + {4^{2024}}}}{{{3^{2015}} + {4^{2015}}}}\) là phân số tối giản.