Cho phân số \(A = \frac{{{3^{2024}} + {4^{2024}}}}{{{3^{2015}} + {4^{2015}}}}\). Chứng minh rằng \(A\) là phân số tối giản.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Xét \(A = \frac{{{3^{2024}} + {4^{2024}}}}{{{3^{2015}} + {4^{2015}}}}\)
Đặt \(d = \)ƯCLN\(\left( {{3^{2024}} + {4^{2024}},{3^{2025}} + {4^{2025}}} \right)\)
Do đó \[\left\{ \begin{array}{l}{3^{2024}} + {4^{2024}} \vdots d\\{3^{2025}} + {4^{2025}} \vdots d\end{array} \right.\]
Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}4\left( {{3^{2024}} + {4^{2024}}} \right) \vdots d\\{3^{2025}} + {4^{2025}} \vdots d\end{array} \right.\]
Do đó \[{4.3^{2024}} - {3^{2025}} \vdots d\] nên \[{3^{2024}} \vdots d\]
Mà \(3\) là số nguyên tố nên \(3 \vdots d\), suy ra \(d \in \left\{ {1;3} \right\}.\)
Lại có \[\left\{ \begin{array}{l}{3^{2024}} + {4^{2024}} \vdots d\\{3^{2025}} + {4^{2025}} \vdots d\end{array} \right.\] nên \[\left\{ \begin{array}{l}3\left( {{3^{2024}} + {4^{2024}}} \right) \vdots d\\{3^{2025}} + {4^{2025}} \vdots d\end{array} \right.\] suy ra \[{4^{2025}} - {3.4^{2024}} \vdots d\], nên \[{4^{2024}} \vdots d\], do đó \(d = 3\) loại.
Vậy \(d = 1\)tức là \(A = \frac{{{3^{2024}} + {4^{2024}}}}{{{3^{2015}} + {4^{2015}}}}\) là phân số tối giản.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Các sản phẩm khác của Vietjack:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Đúng. Tổng thời gian trong tuần bạn Chi dành để tự học ở nhà là 630 phút.
b) Sai. Bạn Chi dành thời gian tự học ở nhà nhiểu nhất vào Thứ Tư.
c) Đúng. Trung bình mỗi ngày bạn Chi dành 90 phút tự học ở nhà.
d) Đúng. Bạn Chi dành thời gian tự học ở nhà vào Thứ Bảy nhiều hơn Chủ nhật là 10 phút.
Câu 2
A.
\(\frac{5}{7}\).
B.
\(\frac{{ - 5}}{3}\).
C.
\(\frac{9}{5}\).
D.
\(\frac{{ - 13}}{0}\).
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Cách viết \(\frac{{ - 13}}{0}\) không là phân số do có mẫu là 0.
Câu 3
A. Điểm \(P\) nằm giữa hai điểm \(M\)và \(N\).
B. Ba điểm \(M,N,P\) không thẳng hàng.
C. Điểm \(M\)thuộc đoạn thẳng \(NP\).
D. Điểm \(M\)và điểm \(P\) nằm khác phía đối với điểm \(N\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập