Mỗi lần nắng mới hắt bên song,

Xao xác, gà trưa gáy não nùng,

Lòng rượi buồn theo thời dĩ vãng,

Chập chờn sống lại những ngày không.

Tôi nhớ mẹ tôi, thuở thiếu thời

Lúc người còn sống, tôi lên mười;

Mỗi lần nắng mới reo ngoài nội,

Áo đỏ người đưa trước giậu phơi.

Hình dáng mẹ tôi chửa xoá mờ

Hãy còn mường tượng lúc vào ra:

Nét cười đen nhánh sau tay áo

Trong ánh trưa hè trước giậu thưa.

(Nắng mới- Lưu Trọng Lư)

Ý nào sau đây nhận định đúng sự vận động của mạch cảm xúc?

Phương pháp giải.

Gọi tiếp điểm theo tham số, viết phương trình tiếp tuyến, lập phương trình diện tích tìm tham số thỏa mãn.

Giải chi tiết.

Ta có \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}} = 2 + \frac{5}{{x - 2}} \Rightarrow y' = - \frac{5}{{{{(x - 2)}^2}}}.\)

Gọi tiếp điểm là \(A\left( {a + 2,\;2 + \frac{5}{a}} \right).\)

Khi đó tiếp tuyến tại A có dạng \(y = - \frac{5}{{{a^2}}}(x - a - 2) + 2 + \frac{5}{a} = - \frac{{5x}}{{{a^2}}} + \frac{{2{a^2} + 10a + 10}}{{{a^2}}}.\)

Tiếp tuyến cắt trục Oy tại \(E\left( {0,\;\frac{{2{a^2} + 10a + 10}}{{{a^2}}}} \right),\)cắt trục Ox tại \(F\left( {\frac{{2{a^2} + 10a + 10}}{5},\;0} \right).\)

Diện tích tam giác OEF bằng \(\frac{1}{2}\left| {\frac{{2{a^2} + 10a + 10}}{{{a^2}}}} \right|\left| {\frac{{2{a^2} + 10a + 10}}{5}} \right| = \frac{2}{5}.\)

\( \Leftrightarrow {(2{a^2} + 10a + 10)^2} = 4{a^4}.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{a^2} + 10a + 10 = 2a,}\\{2{a^2} + 10a + 10 = - 2a.}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1,}\\{a = - 5.}\end{array}} \right.\)

Vậy có 2 giá trị của a thỏa mãn hay có 2 điểm thỏa mãn bài toán.

Đáp án cần chọn là: C.

Mở rộng:

• Công thức tổng quát: Với hàm số \(y = f\left( x \right)\), tiếp tuyến tại điểm \(A\left( {{x_0},f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) có phương trình:

           \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\)

o   Giao điểm với trục hoành: \(x = {x_0} - \frac{{f\left( {{x_0}} \right)}}{{f'\left( {{x_0}} \right)}}\)

o   Giao điểm với trục tung:\(\;y = f\left( {{x_0}} \right) - {x_0}f'\left( {{x_0}} \right)\)

o   Diện tích tam giác \(OEF = \frac{1}{2} \cdot \left| {{x_E}} \right| \cdot \left| {{y_F}} \right|\;\)

·        Luôn nhớ diện tích tam giác tạo bởi tiếp tuyến \( = \frac{1}{2} \cdot \left| {{x_0} - \frac{{f\left( {{x_0}} \right)}}{{f'\left( {{x_0}} \right)}}} \right| \cdot \left| {f\left( {x\_0} \right) - {x_0}f'\left( {{x_0}} \right)} \right|\)

·        Khi đề yêu cầu diện tích bằng số cụ thể, chỉ cần giải phương trình theo \({x_0}\)

Phương pháp giải

Phân tích vectơ.

Giải chi tiết

Vẽ \(ME\parallel SA \Rightarrow ME \bot (ABCD)\)

Do đó\(DM \bot BN \Leftrightarrow DE \bot BN\). Đặt\(AN = xAD\).

Ta có: \(\overrightarrow {DE} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AE} = - \overrightarrow {AD} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \)

\(\overrightarrow {BN} = - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AN} = - \overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AD} \)

Vì \(BN \bot DE\) nên:

\(\left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} } \right) \cdot \left( { - \overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AD} } \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow - 3xA{D^2} - A{B^2} + (3 + x)\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = 0\)

Vì tam giác ABD đều nên:$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=AB\cdot AD\cdot \cos BAD=a\cdot a\cdot \cos {60}^{°}=\frac{a^2}{2}$

Suy ra:\( - 3a{x^2} - {a^2} + \frac{{{a^2}(3 + x)}}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{2}{5} \Rightarrow AN = \frac{2}{5}AD\)

Đáp án cần chọn là: B

Mở rộng:

• Công thức tổng quát: Nếu thì N nằm trên AD với tỉ lệ \(AN:ND = k:1\)
• Đặt tham số cho điểm di động, chuyển điều kiện về vectơ/toạ độ.