Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Phương pháp giải: Sử dụng điều kiện để phương trình dạng \[a\sin x + b\cos x = c\]có nghiệm.
Giải chi tiết:
Bước 1. Điều kiện xác định
Phương trình có nghĩa khi: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ne 1,}\\{m > 0,}\\{{{\log }_3}\frac{m}{{81}} \ge 0.}\end{array}} \right.\]
Từ đó suy ra: \[\frac{m}{{81}} \ge 1 \Leftrightarrow m \ge 81.\]
Bước 2. Điều kiện có nghiệm
Phương trình
\[\frac{{\sqrt 5 }}{{2{{\log }_m}3}}\cos 3x + {\log _m}m\sin 3x = \sqrt {{{\log }_3}\frac{m}{{27}}} \]
có nghiệm khi và chỉ khi:
\[\frac{5}{4}{\left( {\frac{1}{{{{\log }_m}3}}} \right)^2} + {({\log _m}m)^2} \ge {\log _3}\frac{m}{{27}}.\]
Ta có:
\[{\log _m}3 = \frac{1}{{{{\log }_3}m}},\quad {\log _m}m = 1.\]
Suy ra:
\[\frac{5}{4}{({\log _3}m)^2} + 1 \ge {\log _3}m - 3\]
\[ \Leftrightarrow \frac{5}{4}{({\log _3}m)^2} - {\log _3}m + 4 \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow \frac{5}{4}{\left( {{{\log }_3}m - \frac{2}{5}} \right)^2} + \frac{{19}}{5} \ge 0.\]
Bất đẳng thức này luôn đúng với mọi \(m\) thỏa điều kiện xác định.
Bước 3. Đếm nghiệm
Kết hợp với điều kiện \(m \ge 81\) và \(m < 100\), ta có:
\[m \in \{ 81,82, \ldots ,99\} .\]
Số giá trị nguyên dương của \(m\) là:
\[99 - 81 + 1 = 19.\]
Vậy có 19 số nguyên dương \(m\) thỏa mãn bài toán.
Dành cho bạn Hot
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập