Có bao nhiêu số nguyên dương \(m < 100\) thỏa mãn phương trình có nghiệm?

\[\frac{{\sqrt 5 }}{{2{{\log }_m}3}}\cos 3x + {\log _m}m\sin 3x = \sqrt {{{\log }_3}\frac{m}{{27}}} \]

(Nhập đáp án vào ô trống)

Phương pháp giải: Sử dụng điều kiện để phương trình dạng \[a\sin x + b\cos x = c\]có nghiệm.

Giải chi tiết:

Bước 1. Điều kiện xác định

Phương trình có nghĩa khi: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ne 1,}\\{m > 0,}\\{{{\log }_3}\frac{m}{{81}} \ge 0.}\end{array}} \right.\]

Từ đó suy ra: \[\frac{m}{{81}} \ge 1 \Leftrightarrow m \ge 81.\]

Bước 2. Điều kiện có nghiệm

Phương trình

     \[\frac{{\sqrt 5 }}{{2{{\log }_m}3}}\cos 3x + {\log _m}m\sin 3x = \sqrt {{{\log }_3}\frac{m}{{27}}} \]

có nghiệm khi và chỉ khi:

              \[\frac{5}{4}{\left( {\frac{1}{{{{\log }_m}3}}} \right)^2} + {({\log _m}m)^2} \ge {\log _3}\frac{m}{{27}}.\]

Ta có:

                \[{\log _m}3 = \frac{1}{{{{\log }_3}m}},\quad {\log _m}m = 1.\]

Suy ra:

                               \[\frac{5}{4}{({\log _3}m)^2} + 1 \ge {\log _3}m - 3\]

     \[ \Leftrightarrow \frac{5}{4}{({\log _3}m)^2} - {\log _3}m + 4 \ge 0\]

               \[ \Leftrightarrow \frac{5}{4}{\left( {{{\log }_3}m - \frac{2}{5}} \right)^2} + \frac{{19}}{5} \ge 0.\]

Bất đẳng thức này luôn đúng với mọi \(m\) thỏa điều kiện xác định.

Bước 3. Đếm nghiệm

Kết hợp với điều kiện \(m \ge 81\) và \(m < 100\), ta có:

                                                 \[m \in \{ 81,82, \ldots ,99\} .\]

Số giá trị nguyên dương của \(m\) là:

                                                         \[99 - 81 + 1 = 19.\]

Vậy có 19 số nguyên dương \(m\) thỏa mãn bài toán.