Để tiết kiệm, một người quyết định trích ra một số tiền hằng tháng để gửi vào ngân hàng. Cứ đầu mỗi tháng, người đó gửi \(2{\mkern 1mu} 000{\mkern 1mu} 000\) đồng vào ngân hàng. Biết rằng lãi suất hằng tháng của ngân hàng là \(0,8\% \) (lãi được tính vào giữa tháng), và số tiền lãi của tháng đó và số tiền gửi vào tháng sau sẽ được gộp vào số tiền gốc để tính lãi cho tháng sau.

Hỏi sau \(4\) năm, tài khoản tiết kiệm của người đó có bao nhiêu tiền?

Nhập đáp án vào ô trống, đơn vị: triệu đồng, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị

Giải chi tiết:

Ta có công thức truy hồi:

      \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_0} = 0,}\\{{u_{n + 1}} = ({u_n} + M)(1 + r),\quad \forall n \in \mathbb{N}.}\end{array}} \right.\]

Biến đổi:

\[{u_{n + 1}} + \frac{{M(1 + r)}}{r} = (1 + r)\left( {{u_n} + \frac{{M(1 + r)}}{r}} \right).\]

Đặt

                                        \[{v_n} = {u_n} + \frac{{M(1 + r)}}{r},\]

khi đó

   \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{v_0} = \frac{{M(1 + r)}}{r},}\\{{v_{n + 1}} = (1 + r){v_n}.}\end{array}} \right.\]

Suy ra

                                     \[{v_n} = \frac{{M{{(1 + r)}^{n + 1}}}}{r}.\]

Do đó

                             \[{u_n} = \frac{{M({{(1 + r)}^{n + 1}} - (1 + r))}}{r}.\]

Với \(r = 0,8\% = 0,008\), \(M = 2{\mkern 1mu} 000{\mkern 1mu} 000\) (đồng), \(n = 48\) (tháng), ta tính được

     \[{u_{48}} \approx 117{\mkern 1mu} 408{\mkern 1mu} 000{\rm{ (d?ng)}}.\]

Làm tròn theo đơn vị triệu đồng, ta được kết quả là 117 (triệu đồng).