Cho tam giác \[ABC\] cân tại \(A\). Lấy điểm \(D\) trên cạnh \(AC\), điểm \(E\) trên cạnh \(AC\) sao cho \(BD = CE\). Gọi \(I\) là giao của \[BE,CD\].

Khi đó:

a) Đúng.

Vì tam giác \(ABC\) cân tại \(B,\) có \(\widehat {ABC} = 80^\circ \) nên \(\widehat {BAC} = \widehat {ACB} = \frac{{180^\circ - 80^\circ }}{2} = 50^\circ \).

Ta có \(\widehat {IAC} = 10^\circ \) nên \(\widehat {IAB} = \widehat {CAB} - \widehat {IAC} = 50^\circ - 10^\circ = 40^\circ \).

Mà \(AK\) là đường phân giác của \(\widehat {IAB}\) nên \(\widehat {BAK} = \widehat {KAI} = 20^\circ \).

Do đó, \(\widehat {KAC} = \widehat {KAI} + \widehat {IAC} = 20^\circ + 10^\circ = 30^\circ = \widehat {KCA}\)

Suy ra \(\widehat {CAK} = \widehat {KAC} = 30^\circ \) nên \(\Delta ACK\) cân tại \(K.\)

b) Sai.

Có \(\Delta ACK\) cân tại \(K\) nên \(KA = KC.\)

Xét \(\Delta ABK\) và \(\Delta CBK\) có: \(AB = BC\) (gt), \(BK\) chung, \(KA = KC\).

Do đó, \(\Delta ABK = \Delta CBK\) (c.c.c).

c) Đúng.

Có \(\Delta ABK = \Delta CBK\) (cmt)

Suy ra \(\widehat {ABK} = \widehat {CBK}\) (hai góc tương ứng).

Do đó, \(BK\) là phân giác của góc \(ABC\).

d) Đúng.

Từ b) \(\Delta ABK = \Delta CBK\) (c.c.c) nên \(\widehat {AKB} = \widehat {CKB}\) (hai góc tương ứng)

Có \(BK\) là phân giác của góc \(ABC\) nên \(\widehat {ABK} = \widehat {CBK} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2} = 40^\circ \).

Do đó, \(\widehat {AKB} = \widehat {CKB} = 180^\circ - \left( {\widehat {KAB} + \widehat {KBA}} \right) = 180^\circ - \left( {40^\circ + 20^\circ } \right) = 120^\circ \).

Lại có \(\widehat {AKB} + \widehat {CKB} + \widehat {AKC} = 360^\circ \) nên \(\widehat {CKA} = 360^\circ - 2.120^\circ = 120^\circ \).

Do đó, \(\widehat {AKB} = \widehat {CKB} = \widehat {CKA}\).

Xét \(\Delta AKB\) và \(\Delta AKI\), có: \(\widehat {KAB} = \widehat {KAI}\) (gt); \(AK\) chung (gt); \(\widehat {AKB} = \widehat {CKA}\) (cmt)

Do đó, \(\Delta AKB = \Delta AKI\) (g.c.g)

Suy ra \(AB = AI\) (hai cạnh tương ứng)

Do đó, \(\Delta AIB\) cân tại \(A\) nên \(\widehat {ABI} = \widehat {AIB} = \frac{{180^\circ - \widehat {BAI}}}{2} = \frac{{180^\circ - 40^\circ }}{2} = 70^\circ \).

a) Sai.

Xét \(\Delta ACE\) và \(\Delta AEK\), ta có:

\(\widehat {ACE} = \widehat {AKE} = 90^\circ \) (gt)

\(CA = AK\) (gt)

\(AE\) chung (gt)

Do đó, \(\Delta ACE = \Delta AKE\) (ch – cgv)

b) Đúng.

Do \(\Delta ACE = \Delta AKE\) (ch – cgv) nên \(\widehat {CAE} = \widehat {KAE}\) (hai góc tương ứng).

Do đó, \(AE\) là phân giác của \(\widehat {CAB}\).

c) Sai.

Do \(\Delta ACE = \Delta AKE\) (ch – cgv) nên \(CE = EK\) (hai cạnh tương ứng).

Mà xét tam giác \(\Delta KEB\) vuông tại \(K\) nên \(BE > EK\).

Mà \(EK = EC\) nên \(EB > CE\).

d) Đúng.

Ta có \(\widehat {ABC} = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat C} \right) = 180^\circ - \left( {90^\circ + 60^\circ } \right) = 30^\circ \).

Lại có \(AE\) là phân giác của \(\widehat {CAB}\) nên \(\widehat {EAK} = \frac{1}{2}\widehat {CAB} = 30^\circ \).

Suy ra \(\widehat {EAK} = \widehat {CBA} = 30^\circ \).

Do đó, tam giác \(AEB\) cân tại \(E\).

Có \(EK \bot AB\) nên \(EK\) là đường cao, đường trung trực trong tam giác \(EKB.\)

Do đó, \(K\) là trung điểm của \(AB\)

Suy ra \(AK = \frac{1}{2}AB\) hay \(AB = 2AK\).

Mà \(AK = AC\) nên \(AB = 2AC\).