Cho \(\Delta ABC\), kẻ \(AH \bot BC\) tại \(H.\) Kẻ \(BK \bot AC\) tại \(K\), \(CL \bot AB\) tại \(L.\)

Vẽ \(\Delta ABD\) đều (\(B,D\) khác phía so với \(AC\)).

Ta có: \(\Delta ABC\) cân tại \(A,\) \(\widehat A = 40^\circ \) (gt)

Suy ra \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = 70^\circ \) mà \(\widehat {FBC} = 30^\circ \) (gt)

Suy ra \(\widehat {ABF} = 40^\circ \), \(\widehat {BAF} = 40^\circ \) do đó \(\Delta ABF\) cân tại \(F.\)

Suy ra \(AF = BF\), mặt khác \(AB = BD\), \(FD\) chung

Do đó, \(\Delta AFB = \Delta BFD\) (c.c.c) nên \(\widehat {ADF} = \widehat {BDF} = \frac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ \).

Đáp án: 150

Dựng \(\Delta BDC\) đều (\(D,A\) cùng phía so với \(BC\)). Nối \(A\) với \(D\).

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta CDA\), có:

\(AB = AC\) (gt)

\(DA\) chung (gt)

\(AD = DC\) (gt)

Ta có \(\Delta ABD = \Delta CDA\) (c.c.c) nên \(\widehat {DAC} = \widehat {DAB} = 10^\circ \).

\(AM = DC\) (gt)

\(\widehat A\) chung (gt)

\(AM\) chung (gt)

Do đó, \(\Delta AMC = \Delta CDA\) (c.g.c) nên \(\widehat {MCA} = \widehat {DAC} = 10^\circ \) (hai góc tương ứng)

Suy ra \(\widehat {AMC} = 180^\circ  - \left( {\widehat {ACM} + \widehat {MAC}} \right) = 180^\circ  - \left( {20^\circ  + 10^\circ } \right) = 150^\circ \).