Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại \(A\), biết

  \[AB = a,\quad BC = a\sqrt 5 ,\quad SA = 3a,\quad SA \bot (ABC)\]

Tính khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((SBC)\).

Giải chi tiết:

Trong mặt phẳng \((ABC)\), kẻ \(AH \bot BC\), \(H \in BC\).

Do \(SA \bot (ABC)\) nên \(SA \bot BC\).

Suy ra \(BC \bot (SAH)\).

Mà \(BC \subset (SBC)\) nên

  \[(SAH) \bot (SBC) \Rightarrow d(A,(SBC)) = AK\]

với \(AK \bot SH\).

Xét tam giác ABC vuông tại \(A\):

  \[AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}}  = 2a\]

  \[A{H^2} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{4{a^2}}} = \frac{5}{4}{a^2}\]

Xét tam giác vuông SAH tại \(A\):

  \[A{K^2} = S{A^2} + A{H^2} = 9{a^2} + \frac{5}{4}{a^2} = \frac{{49}}{{36}}{a^2}\]

  \[ \Rightarrow AK = \frac{{6a}}{7}\]

Mở rộng:

• Công thức tổng quát: Khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( {Ax + By + Cz + D = 0} \right):\)

  \(d = \frac{{\left| {A{x_0}{\rm{ + }}B{y_0}{\rm{ + }}C{z_0}{\rm{ + }}D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)

• Với hình chóp, thường phải dựng đường vuông góc từ điểm đến mặt phẳng rồi áp dụng công thức khoảng cách.