Cho hình chóp S.ABC thỏa mãn: \[SA \bot (ABC),\quad (SAB) \bot (SBC)\] Góc giữa hai mặt phẳng \((SAC)\)và \((SBC)\) là ${60}^{°}$, biết: $SB=a\sqrt{2},\angle BSC={45}^{°}$. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo \(a\).

 

Giải chi tiết:

Thể tích:

  \[V = \frac{1}{3}SA \cdot {S_{ABC}}\]

Do \(BC \bot SA\) và \(BC \bot AH\) nên \(BC \bot (SAB)\), suy ra tam giác $ABC$ vuông tại \(B\).

Vì $\angle BSC={45}^{°}$ nên

  \[SB = BC = a\sqrt 2 \]

\(K\) là trung điểm của $SC$ nên:

  \[BK = \frac{{SB}}{{\sqrt 2 }} = a\]

Trong tam giác vuông $BIK$:

$BI=BK\sin {60}^{°}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Trong tam giác vuông $ABC$:

  \[AB = \sqrt {B{C^2} - B{I^2}}  = \frac{{a\sqrt {30} }}{5}\]

  \[{S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot BC = \frac{{{a^2}\sqrt {15} }}{2}\]

  \[SA = \sqrt {S{B^2} - A{B^2}}  = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\]

  \[V = \frac{1}{3} \cdot SA \cdot {S_{ABC}} = \frac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{{15}}\]

Mở rộng:

• Công thức tổng quát:

o   Thể tích khối chóp:

• Khối tứ diện đều cạnh

  \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)

• Khối chóp tam giác đều cạnh đáy \(a\), cạnh bên \(b\)

  \(V = \frac{{{a^2}\sqrt {3{b^2} - {a^2}} }}{{12}}\)

·        Khi đề cho góc giữa hai mặt phẳng, thường phải dựng tam giác vuông trong đáy để tính diện tích, rồi nhân với chiều cao.