Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(x\) để tồn tại duy nhất giá trị nguyên của \(y\) sao cho

  \[{e^{2y}} + 4{x^2}y - {y^2} + x > \ln ({x^2} - y)\]

 

Phương pháp giải:

Giải bất phương trình mũ bằng cách xét hàm đặc trưng theo \(y\), sử dụng tính đơn điệu.

Giải chi tiết:

Điều kiện xác định:

  \[{x^2} - y > 0 \Leftrightarrow y < {x^2}\]

Xét bất phương trình tương đương:

  \[{e^{2y}} + 4{x^2}y - {y^2} + x - \ln ({x^2} - y) > 0\]

Đặt

  \[f(y) = {e^{2y}} + 4{x^2}y - {y^2} + x - \ln ({x^2} - y)\quad {\rm{tr\^e n }}( - \infty ,{x^2})\]

Ta có:

  \[f'(y) = 2{e^{2y}} + 4{x^2} - 2y + \frac{1}{{{x^2} - y}} > 0\]

nên \(f(y)\) đồng biến trên \(( - \infty ,{x^2})\).

Suy ra:

  \[f(y) > 0 \Leftrightarrow {f^{ - 1}}(0) < y < {x^2}\]

Để tồn tại duy nhất một giá trị nguyên \(y\), cần:

  \[{x^2} - 1 < {f^{ - 1}}(0) < {x^2}\]

Tương đương:

  \[f({x^2} - 1) < 0\]

  \[ \Leftrightarrow {e^{2({x^2} - 1)}} + 4{x^2}({x^2} - 1) - {({x^2} - 1)^2} + x - \ln 1 < 0\]

  \[ \Leftrightarrow {e^{2({x^2} - 1)}} + 3{x^4} - 2{x^2} + x - 1 < 0\]

Xét hàm:

  \[g(x) = {e^{2({x^2} - 1)}} + 3{x^4} - 2{x^2} + x - 1\]

Phương trình \(g(x) = 0\) có không quá hai nghiệm, bất phương trình \(g(x) < 0\) chỉ nhận

  \[x = 0\]

Vậy có đúng 1 giá trị nguyên của \(x\).

Mở rộng:

·        Công thức tổng quát: Bất phương trình mũ → đặt ẩn phụ, xét tính đơn điệu của hàm để tìm nghiệm.

·        Điều kiện xác định trước, sau đó xét hàm đồng biến/nghịch biến để suy ra số nghiệm nguyên thỏa mãn.