Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Phương pháp giải:
Giải bất phương trình mũ bằng cách xét hàm đặc trưng theo \(y\), sử dụng tính đơn điệu.
Giải chi tiết:
Điều kiện xác định:
\[{x^2} - y > 0 \Leftrightarrow y < {x^2}\]
Xét bất phương trình tương đương:
\[{e^{2y}} + 4{x^2}y - {y^2} + x - \ln ({x^2} - y) > 0\]
Đặt
\[f(y) = {e^{2y}} + 4{x^2}y - {y^2} + x - \ln ({x^2} - y)\quad {\rm{tr\^e n }}( - \infty ,{x^2})\]
Ta có:
\[f'(y) = 2{e^{2y}} + 4{x^2} - 2y + \frac{1}{{{x^2} - y}} > 0\]
nên \(f(y)\) đồng biến trên \(( - \infty ,{x^2})\).
Suy ra:
\[f(y) > 0 \Leftrightarrow {f^{ - 1}}(0) < y < {x^2}\]
Để tồn tại duy nhất một giá trị nguyên \(y\), cần:
\[{x^2} - 1 < {f^{ - 1}}(0) < {x^2}\]
Tương đương:
\[f({x^2} - 1) < 0\]
\[ \Leftrightarrow {e^{2({x^2} - 1)}} + 4{x^2}({x^2} - 1) - {({x^2} - 1)^2} + x - \ln 1 < 0\]
\[ \Leftrightarrow {e^{2({x^2} - 1)}} + 3{x^4} - 2{x^2} + x - 1 < 0\]
Xét hàm:
\[g(x) = {e^{2({x^2} - 1)}} + 3{x^4} - 2{x^2} + x - 1\]
Phương trình \(g(x) = 0\) có không quá hai nghiệm, bất phương trình \(g(x) < 0\) chỉ nhận
\[x = 0\]
Vậy có đúng 1 giá trị nguyên của \(x\).
Mở rộng:
· Công thức tổng quát: Bất phương trình mũ → đặt ẩn phụ, xét tính đơn điệu của hàm để tìm nghiệm.
· Điều kiện xác định trước, sau đó xét hàm đồng biến/nghịch biến để suy ra số nghiệm nguyên thỏa mãn.
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập