Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. M,N,P lần lượt là trung điểm của SA,BC,CD. Gọi I,J lần lượt là giao điểm của NP với AB,AD.

Kéo dài MI cắt SB tại \(E\), kéo dài MJ cắt SD tại \(F\).

Tính:

  \[k = \frac{{EF}}{{IJ}}\]

Phương pháp giải:

Chứng minh các tam giác đồng dạng và áp dụng định lý Menelaus.

Giải chi tiết:

Vì N,P là trung điểm của BC,CD nên NP là đường trung bình của .

Xét  và  có:

  \[\angle IBN = \angle NCP,\quad \angle BNI = \angle CNP\]

nên:

$△BNI~△CNP$

Suy ra:

  \[BI = \frac{1}{2}AB \Rightarrow IB = \frac{1}{3}AI\]

Áp dụng định lý Menelaus trong :

  \[\frac{{MS}}{{MA}} \cdot \frac{{IA}}{{IB}} \cdot \frac{{EB}}{{ES}} = 1 \Rightarrow \frac{{EB}}{{ES}} = \frac{1}{3}\]

Tương tự:

  \[\frac{{FD}}{{FS}} = \frac{1}{3}\]

Suy ra:

  \[EF = \frac{1}{3}BD\]

Mà:

  \[BD = \frac{2}{3}IJ \Rightarrow EF = \frac{2}{9}IJ\]

Mở rộng:

• Công thức tổng quát: Trong hình chóp, dùng định lý Menelaus hoặc đồng dạng tam giác để tính tỉ số đoạn thẳng.

o   Trong tam giác: Cho tam giác \(ABC\;\)và ba điểm \(M,N,P\;\)lần lượt nằm trên các đường thẳng chứa các cạnh \(BC,CA,AB\). Ba điểm này thẳng hàng khi và chỉ khi:

  \(\frac{{MB}}{{MC}} \cdot \frac{{NC}}{{NA}} \cdot \frac{{PA}}{{PB}} = 1\)

• Xác định trung điểm, đường trung bình, sau đó áp dụng định lý Menelaus để tìm hệ thức.

o   Nếu \(AD,BE,CF\;\)đồng quy tại \(I\):
\(\frac{{AI}}{{ID}} = \frac{{AF}}{{FB}} + \frac{{AE}}{{EC}}\)