Cho phương trình

  \[{4^{|x|}} - (m + 1){2^{|x|}} + m = 0.\]

Điều kiện của tham số m để phương trình có đúng  3 nghiệm phân biệt là:

 Phương pháp giải

Đặt\((t = {2^{|x|}})\), đưa bài toán về phương trình bậc hai theo t, sau đó biện luận số nghiệm theo tham số m.

Giải chi tiết:

Ta có phương trình:

  \[{4^{|x|}} - (m + 1){2^{|x|}} + m = 0{\rm{ (}}1)\]

Nhận thấy:

  \[{4^{|x|}} = {\left( {{2^{|x|}}} \right)^2}.\]

Đặt:

  \[t = {2^{|x|}},\quad t \ge 1.\]

Khi đó phương trình (1) trở thành:

  \[{t^2} - (m + 1)t + m = 0.(2)\]

Giải phương trình (2):

  \[\Delta  = {(m + 1)^2} - 4m = {(m - 1)^2}.\]

  \[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{t_1} = 1,}\\{{t_2} = m.}\end{array}} \right.\]

Tương ứng:

  \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{2^{|x|}} = 1 \Rightarrow |x| = 0 \Rightarrow x = 0,}\\{{2^{|x|}} = m \Rightarrow |x| = {{\log }_2}m.}\end{array}} \right.\]

Hàm số \((y = {2^{|x|}})\) có một cực tiểu tại x = 0, do đó:

\(({2^{|x|}} = 1)\)có đúng 1 nghiệm.

\(({2^{|x|}} = m)\)có:

2 nghiệm phân biệt nếu m > 1,

1 nghiệm nếu m = 1,

vô nghiệm nếu m < 1.

Để phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt, ta cần:

  \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ne 1,}\\{m > 1.}\end{array}} \right.\]

Suy ra: \[m > 1.\]

Mở rộng:

·        Công thức tổng quát: Phương trình có nghiệm phân biệt → biện luận theo tham số bằng cách đưa về phương trình bậc hai.

·        Xét số nghiệm theo từng trường hợp của tham số để tìm đúng 3 nghiệm.