Trong môi trường nuôi cấy ổn định, người ta nhận thấy rằng:

Sau 5 ngày, số lượng loài vi khuẩn A tăng lên gấp đôi.

Sau 10 ngày, số lượng loài vi khuẩn B tăng lên gấp ba.

Giả sử ban đầu có 50 con vi khuẩn A và 100 con vi khuẩn B.

Hỏi sau bao nhiêu ngày nuôi cấy trong môi trường đó thì tổng số vi khuẩn của hai loài bằng 20900 con, biết rằng tốc độ tăng trưởng của mỗi loài ở mọi thời điểm là như nhau?

 Phương pháp giải

Sử dụng mô hình hàm số mũ biểu diễn sự tăng trưởng của vi khuẩn theo thời gian.

Giải chi tiết:

Giả sử sau x ngày nuôi cấy thì tổng số vi khuẩn của hai loài là 20900 con, với (x > 0).

Loài vi khuẩn A: 

    Sau 5 ngày tăng gấp đôi nên sau x ngày có: \[50 \cdot {2^{\frac{x}{5}}}{\rm{ (con)}}.\]

Loài vi khuẩn B: 

    Sau 10 ngày tăng gấp ba nên sau x ngày có:               \[100 \cdot {3^{\frac{x}{{10}}}}{\rm{ (con)}}.\]

Theo giả thiết:

  \[50 \cdot {2^{\frac{x}{5}}} + 100 \cdot {3^{\frac{x}{{10}}}} = 20900.{\rm{ }}*\]

Xét hàm số:

  \[f(x) = 50 \cdot {2^{\frac{x}{5}}} + 100 \cdot {3^{\frac{x}{{10}}}}.\]

Ta có:

  \[f'(x) = 10 \cdot {2^{\frac{x}{5}}}\ln 2 + 10 \cdot {3^{\frac{x}{{10}}}}\ln 3 > 0,\quad \forall x > 0.\]

Suy ra f(x) là hàm đồng biến trên \((0; + \infty ),\)nên phương trình (*) có nhiều nhất một nghiệm.

Thử x = 40:

  \[50 \cdot {2^8} + 100 \cdot {3^4} = 50 \cdot 256 + 100 \cdot 81 = 12800 + 8100 = 20900.\]

Vậy nghiệm duy nhất là:        \[x = 40.\]

Mở rộng:

·        Công thức tổng quát: Mô hình tăng trưởng vi khuẩn → hàm số mũ: \(N\left( t \right) = {N_0} \cdot {a^t}.\)

·        Dùng dữ kiện “sau 5 ngày gấp đôi, sau 10 ngày gấp ba” để lập phương trình, giải tìm thời gian.