Một bình hoa dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y =  - \sin x + 2\] và trục Ox (tham khảo hình vẽ bên dưới).

Biết đáy bình hoa là hình tròn có bán kính bằng \(2{\mkern 1mu} {\rm{dm}}\), miệng bình hoa là đường tròn bán kính bằng \(1,5{\mkern 1mu} {\rm{dm}}.\)

Bỏ qua độ dày của bình hoa, tính thể tích của bình hoa (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị, đơn vị: \({\rm{d}}{{\rm{m}}^3}.\))

Đáp án:  ____

Phương pháp giải

Gắn hệ trục tọa độ từ đó dùng ứng dụng tích phân để tính thể tích.

Giải chi tiết:

Giả sử thiết diện qua trục của bình hoa miêu tả như hình vẽ bên dưới.

Chọn hệ trục tọa độ Oxy thỏa mãn gốc tọa độ O trùng với tâm đáy bình hoa,

trục Ox trùng với trục của bình hoa.

Bán kính hình tròn đáy bình hoa bằng

  \[{y_A} = 2\]

nên

  \[ - \sin {x_A} + 2 = 2 \Rightarrow \sin {x_A} = 0 \Rightarrow {x_A} = 0.\]

Bán kính đường tròn miệng bình hoa bằng

  \[{y_B} = 1,5\quad (2\pi  < {x_B} < 3\pi ),\]

tức là:

  \[\sin ({x_B} - \pi ) + 2 = 1,5 \Rightarrow \sin ({x_B} - \pi ) = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)\]

  \[ \Rightarrow {x_B} - \pi  =  - \frac{\pi }{6} + 2\pi  \Rightarrow {x_B} = \frac{{17\pi }}{6}.\]

Khi đó thể tích bình hoa giới hạn bởi các đường

  \[y =  - \sin x + 2;\quad y = 0;\quad x = 0;\quad x = \frac{{17\pi }}{6}\]

được xác định theo công thức:

  \[V = \pi \int_0^{\frac{{17\pi }}{6}} {{{( - \sin x + 2)}^2}} {\mkern 1mu} dx\]

  \[ = \pi \int_0^{\frac{{17\pi }}{6}} {(4 - 4\sin x + {{\sin }^2}x)} {\mkern 1mu} dx\]

  \[ = \pi \int_0^{\frac{{17\pi }}{6}} {\left( {4 - 4\sin x + \frac{{1 - \cos 2x}}{2}} \right)} {\mkern 1mu} dx\]

  \[ = \pi \int_0^{\frac{{17\pi }}{6}} {\left( {\frac{9}{2} - 4\sin x - \frac{{\cos 2x}}{2}} \right)} {\mkern 1mu} dx\]

  \[ = \pi \left( {\frac{9}{2}x + 4\cos x - \frac{{\sin 2x}}{4}} \right)|_0^{\frac{{17\pi }}{6}}\]

  \[ = \frac{{51{\pi ^2}}}{4} - 32 + \frac{{15\sqrt 3 }}{8}\pi  \approx 103,07\;({\rm{d}}{{\rm{m}}^3}).\]

Đáp số: 103.
Mở rộng:

·        Công thức tổng quát: Thể tích khối tròn xoay:

  \(V = \pi \mathop \smallint \nolimits_a^b |{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)|dx\)

·        Xác định đúng miền quay quanh trục Ox, tính tích phân, làm tròn kết quả theo yêu cầu.