Một bình hoa dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = - sin x + 2 và trục Ox (tham khảo hình vẽ bên dưới).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Phương pháp giải
Gắn hệ trục tọa độ từ đó dùng ứng dụng tích phân để tính thể tích.
Giải chi tiết:
Giả sử thiết diện qua trục của bình hoa miêu tả như hình vẽ bên dưới.
Chọn hệ trục tọa độ Oxy thỏa mãn gốc tọa độ O trùng với tâm đáy bình hoa,
trục Ox trùng với trục của bình hoa.
Bán kính hình tròn đáy bình hoa bằng
\[{y_A} = 2\]
nên
\[ - \sin {x_A} + 2 = 2 \Rightarrow \sin {x_A} = 0 \Rightarrow {x_A} = 0.\]
Bán kính đường tròn miệng bình hoa bằng
\[{y_B} = 1,5\quad (2\pi < {x_B} < 3\pi ),\]
tức là:
\[\sin ({x_B} - \pi ) + 2 = 1,5 \Rightarrow \sin ({x_B} - \pi ) = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)\]
\[ \Rightarrow {x_B} - \pi = - \frac{\pi }{6} + 2\pi \Rightarrow {x_B} = \frac{{17\pi }}{6}.\]
Khi đó thể tích bình hoa giới hạn bởi các đường
\[y = - \sin x + 2;\quad y = 0;\quad x = 0;\quad x = \frac{{17\pi }}{6}\]
được xác định theo công thức:
\[V = \pi \int_0^{\frac{{17\pi }}{6}} {{{( - \sin x + 2)}^2}} {\mkern 1mu} dx\]
\[ = \pi \int_0^{\frac{{17\pi }}{6}} {(4 - 4\sin x + {{\sin }^2}x)} {\mkern 1mu} dx\]
\[ = \pi \int_0^{\frac{{17\pi }}{6}} {\left( {4 - 4\sin x + \frac{{1 - \cos 2x}}{2}} \right)} {\mkern 1mu} dx\]
\[ = \pi \int_0^{\frac{{17\pi }}{6}} {\left( {\frac{9}{2} - 4\sin x - \frac{{\cos 2x}}{2}} \right)} {\mkern 1mu} dx\]
\[ = \pi \left( {\frac{9}{2}x + 4\cos x - \frac{{\sin 2x}}{4}} \right)|_0^{\frac{{17\pi }}{6}}\]
\[ = \frac{{51{\pi ^2}}}{4} - 32 + \frac{{15\sqrt 3 }}{8}\pi \approx 103,07\;({\rm{d}}{{\rm{m}}^3}).\]
Đáp số: 103.
Mở rộng:
· Công thức tổng quát: Thể tích khối tròn xoay:
\(V = \pi \mathop \smallint \nolimits_a^b |{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)|dx\)
· Xác định đúng miền quay quanh trục Ox, tính tích phân, làm tròn kết quả theo yêu cầu.
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập