Một công ty muốn làm một đường ống dẫn từ một điểm \(A\) trên bờ biển đến một điểm C trên một hòn đảo cách bờ biển \(6{\rm{km}}\). Giá để xây đường ống trên bờ là 50000 USD mỗi km, giá để xây dựng đường ống dưới nước là 130000 USD mỗi km. Biết tổng số tiền công là 1170000 USD. B là điểm trên bờ biển sao cho \(CB\) vuông góc với bờ biển. Gọi khoảng cách từ \(A\) đến \(S\) là \(x\;{\rm{km}}\)(\(0 < x < 9\)).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 54

Gọi giá bán 1 quả bưởi là \(x\)(nghìn đồng) \(\left( {0 < x < 65} \right)\). Số tiền giảm là \(65 - x\) (nghìn đồng).

Số quả bưởi có thể bán tăng thêm là \(\left( {65 - x} \right).10\) quả.

Số quả bưởi bán thực tế là \(30 + \left( {65 - x} \right).10 = 680 - 10x\) quả.

Lợi nhuận khi bán 1 quả là \(x - 40\) nghìn đồng.

Lợi nhuận khi bán tất cả số bưởi là: \(f\left( x \right) = \left( {680 - 10x} \right)\left( {x - 40} \right)\)(nghìn đồng).

Ta có \(f\left( x \right) = \left( {680 - 10x} \right)\left( {x - 40} \right) =  - 10{x^2} + 1080x - 27200\).

Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) là 1960 tại \(x =  - \frac{b}{{2a}} = 54\).

Để lợi nhuận cửa hàng thu được là cao nhất thì giá bán là 54 nghìn đồng.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 7,7

Áp dụng định lí Pytago cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), ta được: \(A{C^2} + A{B^2} = B{C^2}\).

Suy ra \(AB = \sqrt {B{C^2} - A{C^2}}  = \sqrt {{6^2} - {x^2}}  = \sqrt {36 - {x^2}} {\rm{(\;cm)}}\).

Áp dụng định lí Pytago cho tam giác \(ACD\) vuông tại \(A\), ta được: \(A{C^2} + A{D^2} = C{D^2}\).

Suy ra \(AD = \sqrt {C{D^2} - A{C^2}}  = \sqrt {{8^2} - {x^2}}  = \sqrt {64 - {x^2}} {\rm{(\;cm)}}\).

Mà \(AB + BD = AD\) nên \(\sqrt {36 - {x^2}}  + 3 = \sqrt {64 - {x^2}} \) (1).

Bình phương hai vế của phương trình (1), ta được:

\(36 - {x^2} + 6\sqrt {36 - {x^2}}  + 9 = 64 - {x^2} \Rightarrow \sqrt {36 - {x^2}}  = \frac{{19}}{6} \Rightarrow {x^2} = \frac{{935}}{{36}} \Rightarrow x \approx 5,1.\)

Diện tích của tam giác \(BCD\) là: \(\frac{1}{2} \cdot 5,1 \cdot 3 \approx 7,7\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).