Một khung dây thép hình chữ nhật với chiều dài 30 cm và chiều rộng 20 cm được uốn lại thành hình chữ nhật mới với kích thước \(\left( {30 - x} \right)\) (cm) và \(\left( {20 + x} \right)\) (cm). Với \(x \in \left( {a;b} \right)\) thì diện tích của khung sau khi uốn tăng lên. Khi đó trong khoảng \(\left( {a;b} \right)\) có bao nhiêu giá trị nguyên?

Hướng dẫn giải

Trả lời: 54

Gọi giá bán 1 quả bưởi là \(x\)(nghìn đồng) \(\left( {0 < x < 65} \right)\). Số tiền giảm là \(65 - x\) (nghìn đồng).

Số quả bưởi có thể bán tăng thêm là \(\left( {65 - x} \right).10\) quả.

Số quả bưởi bán thực tế là \(30 + \left( {65 - x} \right).10 = 680 - 10x\) quả.

Lợi nhuận khi bán 1 quả là \(x - 40\) nghìn đồng.

Lợi nhuận khi bán tất cả số bưởi là: \(f\left( x \right) = \left( {680 - 10x} \right)\left( {x - 40} \right)\)(nghìn đồng).

Ta có \(f\left( x \right) = \left( {680 - 10x} \right)\left( {x - 40} \right) =  - 10{x^2} + 1080x - 27200\).

Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) là 1960 tại \(x =  - \frac{b}{{2a}} = 54\).

Để lợi nhuận cửa hàng thu được là cao nhất thì giá bán là 54 nghìn đồng.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Ta có \(SB = 9 - x\).

Xét \(\Delta SBC\) có \(SC = \sqrt {S{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{6^2} + {{\left( {9 - x} \right)}^2}} \).

b) \(50000.AS + 130000.SC = 1170000\).

c) Ta có \(50000.x + 130000.\sqrt {{6^2} + {{\left( {9 - x} \right)}^2}}  = 1170000\)

\( \Leftrightarrow 5x + 13.\sqrt {{6^2} + {{\left( {9 - x} \right)}^2}}  = 117\)

\( \Leftrightarrow 13.\sqrt {{6^2} + {{\left( {9 - x} \right)}^2}}  = 117 - 5x\) (1).

Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được

\(169\left( {117 - 18x + {x^2}} \right) = 13689 - 1170x + 25{x^2}\)

\( \Leftrightarrow 144{x^2} - 1872x + 6084 = 0\)\( \Leftrightarrow x = \frac{{13}}{2}\).

Thử lại ta thấy \(x = \frac{{13}}{2}\) là nghiệm của phương trình.

Do đó tổng km làm đường ống là \(AS + SC = 6,5 + \sqrt {{6^2} + {{2,5}^2}}  = 13\).

d) Ta có \(SA = SC = \frac{{13}}{2}\).