Cho hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\) có đồ thị là \(\left( C \right).\) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục \[Ox,\,\,Oy\] lần lượt tại các điểm \(A,\,\,B\) thỏa mãn \(OA = 4OB.\)

Giải chi tiết:

Giả sử tiếp tuyến \(\left( d \right)\) của \(\left( C \right)\) tại \(M({x_0};{y_0}) \in (C)\)cắt \[Ox\] tại \(A,\) \(Oy\) tại \(B\) sao cho \(OA = 4OB.\)Do \(\Delta OAB\)vuông tại \(O\) nên \(\tan A = \frac{{OB}}{{OA}} = \frac{1}{4}.\)

Hệ số góc của \(\left( d \right)\) bằng \(\frac{1}{4}\)hoặc \( - \frac{1}{4}.\)

Hệ số góc của \(\left( d \right)\) là \(y'({x_0}) = - \frac{1}{{{{({x_0} - 1)}^2}}} < 0 \Rightarrow - \frac{1}{{{{({x_0} - 1)}^2}}} = - \frac{1}{4}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_o} = - 1 \Rightarrow y{}_o = \frac{3}{2}\\{x_o} = 3 \Rightarrow y{}_o = \frac{5}{2}\end{array} \right.\)

Khi đó có \(2\) tiếp tuyến thỏa mãn là:

\[\left[ \begin{array}{l}y = \frac{{ - 1}}{4}\left( {x + 1} \right) + \frac{3}{2}\\y = \frac{{ - 1}}{4}\left( {x - 3} \right) + \frac{5}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = \frac{{ - 1}}{4}x + \frac{5}{4}\\y = \frac{{ - 1}}{4}x + \frac{{13}}{4}\end{array} \right.\]

Đáp án cần chọn là: A