Một cây cầu treo tháp đôi cao \[75{\rm{ m}}\] so với mặt của cây cầu và cách nhau \[{\rm{400 m}}{\rm{.}}\]Các dây cáp có dạng đồ thị của hàm số \[y = a{x^2}\] và được treo trên các đỉnh tháp như hình vẽ.

(a) Tính độ dài đoạn \[CH\] của dây cáp, biết điểm \[H\] cách tâm \[O\] của cây cầu là \[100{\rm{ m}}{\rm{.}}\](giả sử mặt cầu của cây cầu bằng phẳng)

(b) Nếu có đường thẳng vuông góc với trục \[Oy\] tại điểm \[E\left( {0;27} \right)\] và đồng thời cắt parabol hai điểm \[M,N\] (như hình vẽ) thì khoảng cách hai điểm \[M,N\] lần lượt đến tâm \[O\] là bao nhiêu?

a) Vì \[MA,MB\] là tiếp tuyến của \[\left( O \right)\] nên suy ra \[MA \bot OA,MB \bot OB\]

Suy ra \[\widehat {MAO} = \widehat {MBO} = 90^\circ \].

Xét tứ giác \[MAOB\] có \[\widehat {MAO} + \widehat {MBO} = 180^\circ \].

Suy ra \[MAOB\] nội tiếp đường tròn đường kính \[MO\].

Xét \[\left( O \right)\] có \[CD\] là dây cung và \[E\] là trung điểm của \[CD\] suy ra \[OE \bot CD\].

Suy ra \[\widehat {OEC} = 90^\circ \] suy ra \[\widehat {OEM} = 90^\circ \] với \[M \in CD\].

Xét tứ giác \[OEMB\] có:

\[\widehat {OEM} + \widehat {OBM} = 180^\circ \].

Suy ra tứ giác \[OEMB\] nội tiếp đường tròn đường kính \[MO\].

b) Xét \[\Delta MAC\] và \[\Delta MDA\] có:

\[\widehat {AMD}\] chung và \[\widehat {MDA} = \widehat {MAC}\] (cùng chắn cung \[AC\])

Suy ra (g.g) suy ra \[\frac{{MA}}{{MD}} = \frac{{MC}}{{MA}}\] hay \[MC.MD = M{A^2}\] (*).

Ta có: \[OA = OB = R\] và \[MA = MB\] (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Suy ra \[MO\] là đường trung trực của \[AB\].

Xét \[\Delta AMO\] và \[\Delta HMA\] có \[\widehat {MAO} = \widehat {MHA} = 90^\circ \] và \[\widehat {AMO} = \widehat {HMA}\]

Suy ra (g.g) suy ra \[MH.MO = M{A^2}\] (**).

Từ (*) và (**) suy ra \[MH.MO = MC.MD = M{A^2}\]

Suy ra \[\frac{{MC}}{{MH}} = \frac{{MO}}{{MD}}\].

Xét \[\Delta MCH\] và \[\Delta MOD\] có: \[\widehat {DMO}\] chung và \[\frac{{MC}}{{MH}} = \frac{{MO}}{{MD}}\].

Suy ra (c.g.c) suy ra \[\widehat {MHC} = \widehat {MDO}\].

Xét \[\Delta MOA\] có \[AH\] là đường cao (\[AH \bot OM\]); \[\widehat {MAO} = 90^\circ \] (chứng minh trên).

Xét \[\Delta OHA\] và \[\Delta OAM\] có: \[\widehat {HOA} = \widehat {AOM}\] và \[\widehat {OHA} = \widehat {OAM} = 90^\circ \].

Suy ra (g.g) suy ra \[OH.OM = O{A^2}\].

Xét tam giác \[\Delta OAM\], áp dụng định lí Pythagore, ta có: \[O{A^2} + A{M^2} = M{O^2}\].

Suy ra \[OH.OM + MC.MD = M{O^2}\].

Theo đề, ta có \[OK = 15{\rm{ m}}\] và \[AB = 30{\rm{ m}}\].

Suy ra \[AK = BK = \frac{{AB}}{2}{\rm{ = 15 m}}\].

Vì \[A,B\] nằm về hai phía so với trục tung.

Suy ra tọa độ \[A\left( { - 15;15} \right)\] và \[B\left( {15;15} \right)\].

Thay \[x = 15,y = 15\] vào \[y = a{x^2}\], ta được: \[15 = a{.15^2}\] suy ra \[a = \frac{1}{{15}}\].

Vậy có hàm số \[y = \frac{{{x^2}}}{{15}}\].