Tìm hai số \[x\] và \[y\] biết:

(a) \[x + y = 18\] và \[xy = 77\];

(b) \[x + y = - 3\] và \[xy = 5\];

(c) \[x - y = 2\sqrt 3 \] và \[xy = 1\];

(d) \[{x^2} + {y^2} = 34\] và \[xy = - 15\].

a) Vì \[x + y = 18\] và \[xy = 77\] nên \[x,y\] là nghiệm của phương trình

\[{a^2} - 18a + 77 = 0\]

Xét \[\Delta ' = {\left( { - 9} \right)^2} - 77 = 4 > 0\].

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là \[{a_1} = 7\] và \[{a_2} = 11\].

Vậy hai số \[x,y\] cần tìm là \[\left( {x;y} \right) = \left( {7;11} \right)\] hoặc \[\left( {x;y} \right) = \left( {11;7} \right)\].

b) Vì \[x + y = - 3\] và \[xy = 5\], nhận thấy \[{\left( { - 3} \right)^2} < 4.5\] không thỏa mãn \[{S^2} \ge 4P\].

Do đó không có giá trị \[x,y\] thỏa mãn.

c) Có \[x - y = 2\sqrt 3 \] và \[xy = 1\] biến đổi ta được:\[x + \left( { - y} \right) = 2\sqrt 3 \] và \[x\left( { - y} \right) = - 1\].

Do đó, \[x, - y\] là nghiệm của phương trình: \[{a^2} - 2\sqrt 3 a - 1 = 0\].

Xét \[\Delta ' = {\left( { - \sqrt 3 } \right)^2} - \left( { - 1} \right) = 4 > 0\].

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là \[{a_1} = 2 - \sqrt 3 \] và \[{a_2} = 2 + \sqrt 3 \].

Do đó, \[\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - \sqrt 3 \\ - y = 2 + \sqrt 3 \end{array} \right.\] hoặc \[\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + \sqrt 3 \\ - y = 2 + \sqrt 3 \end{array} \right.\].

Vậy hai số \[x,y\] cần tìm là \[\left( {x;y} \right) = \left( {2 - \sqrt 3 ; - 2 - \sqrt 3 } \right)\] hoặc \[\left( {x;y} \right) = \left( { - 2 + \sqrt 3 ; - 2 - \sqrt 3 } \right)\].

d) \[{x^2} + {y^2} = 34\] và \[xy = - 15\].

Ta có: \[{x^2} + {y^2} = 34\] hay \[{\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = 34\] suy ra \[{\left( {x + y} \right)^2} = 4\].

Do đó, \[x + y = 2\] hoặc \[x + y = - 2\].

TH1: \[x + y = 2\] và \[xy = - 15\], nên \[x,y\] là nghiệm của phương trình \[{a^2} - 2a - 15 = 0\]

Suy ra \[\left( {a + 3} \right)\left( {a - 5} \right) = 0\] do đó \[a = - 3\] hoặc \[a = 5\].

Vậy hai số \[x,y\] cần tìm là \[\left( {x;y} \right) = \left( { - 3;5} \right)\] hoặc \[\left( {x;y} \right) = \left( {5; - 3} \right)\].

TH2: \[x + y = - 2\] và \[xy = - 15\] nên \[x,y\] là nghiệm của phương trình \[{a^2} + 2a - 15 = 0\]

Suy ra \[\left( {a - 3} \right)\left( {a + 5} \right) = 0\] do đó \[a = 3\] hoặc \[a = - 5\].

Vậy hai số \[x,y\] cần tìm là \[\left( {x;y} \right) = \left( {3; - 5} \right)\] hoặc \[\left( {x;y} \right) = \left( { - 5;3} \right)\].

Từ hai trường hợp, ta có hai số \[x,y\] cần tìm là \[\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( {3; - 5} \right);\left( { - 5;3} \right);\left( { - 3;5} \right);\left( {5; - 3} \right)} \right\}\].