Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\]. Kẻ đường cao \[AH\] và phân giác trong \[AD\] của góc \[HAC\]. Phân giác trong của \[\widehat {ABC}\] cắt \[AH\], \[AD\] lần lượt tại \[M,N\]. Chứng minh rằng: \[MHDN\] là tứ giác nội tiếp.

a) Vì \[MA,MB\] là tiếp tuyến của \[\left( O \right)\] nên suy ra \[MA \bot OA,MB \bot OB\]

Suy ra \[\widehat {MAO} = \widehat {MBO} = 90^\circ \].

Xét tứ giác \[MAOB\] có \[\widehat {MAO} + \widehat {MBO} = 180^\circ \].

Suy ra \[MAOB\] nội tiếp đường tròn đường kính \[MO\].

Xét \[\left( O \right)\] có \[CD\] là dây cung và \[E\] là trung điểm của \[CD\] suy ra \[OE \bot CD\].

Suy ra \[\widehat {OEC} = 90^\circ \] suy ra \[\widehat {OEM} = 90^\circ \] với \[M \in CD\].

Xét tứ giác \[OEMB\] có:

\[\widehat {OEM} + \widehat {OBM} = 180^\circ \].

Suy ra tứ giác \[OEMB\] nội tiếp đường tròn đường kính \[MO\].

b) Xét \[\Delta MAC\] và \[\Delta MDA\] có:

\[\widehat {AMD}\] chung và \[\widehat {MDA} = \widehat {MAC}\] (cùng chắn cung \[AC\])

Suy ra (g.g) suy ra \[\frac{{MA}}{{MD}} = \frac{{MC}}{{MA}}\] hay \[MC.MD = M{A^2}\] (*).

Ta có: \[OA = OB = R\] và \[MA = MB\] (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Suy ra \[MO\] là đường trung trực của \[AB\].

Xét \[\Delta AMO\] và \[\Delta HMA\] có \[\widehat {MAO} = \widehat {MHA} = 90^\circ \] và \[\widehat {AMO} = \widehat {HMA}\]

Suy ra (g.g) suy ra \[MH.MO = M{A^2}\] (**).

Từ (*) và (**) suy ra \[MH.MO = MC.MD = M{A^2}\]

Suy ra \[\frac{{MC}}{{MH}} = \frac{{MO}}{{MD}}\].

Xét \[\Delta MCH\] và \[\Delta MOD\] có: \[\widehat {DMO}\] chung và \[\frac{{MC}}{{MH}} = \frac{{MO}}{{MD}}\].

Suy ra (c.g.c) suy ra \[\widehat {MHC} = \widehat {MDO}\].

Xét \[\Delta MOA\] có \[AH\] là đường cao (\[AH \bot OM\]); \[\widehat {MAO} = 90^\circ \] (chứng minh trên).

Xét \[\Delta OHA\] và \[\Delta OAM\] có: \[\widehat {HOA} = \widehat {AOM}\] và \[\widehat {OHA} = \widehat {OAM} = 90^\circ \].

Suy ra (g.g) suy ra \[OH.OM = O{A^2}\].

Xét tam giác \[\Delta OAM\], áp dụng định lí Pythagore, ta có: \[O{A^2} + A{M^2} = M{O^2}\].

Suy ra \[OH.OM + MC.MD = M{O^2}\].

a) • Tìm hàm số \[y = a{x^2}\].

Theo đề bài, ta có: hàm số \[y = a{x^2}\] đi qua điểm có tọa độ là \[\left( {200;75} \right)\] và \[\left( { - 200;75} \right)\].

Do đó, thay \[x = 200,y = 75\] vào hàm số \[y = a{x^2}\], ta được:

\[75 = a{.200^2}\] suy ra \[a = \frac{3}{{1600}}\].

Vậy hàm số đó là \[y = \frac{3}{{1600}}{x^2}\].

Để tính được chiều cao của \[CH\], ta thay \[x = 100\] vào hàm số \[y = \frac{3}{{1600}}{x^2}\], ta được:

\[y = \frac{3}{{1600}}{.100^2} = \frac{{75}}{4} = 18,75{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\].

Vậy độ dài đoạn \[CH = 18,75{\rm{ m}}\].

b) Ta có tọa độ điểm \[M( - {x_0};27)\] và \[N({x_0};27)\].

Thay \[y = 27\] vào hàm số \[y = \frac{3}{{1600}}{x^2}\], ta được:

\[27 = \frac{3}{{1600}}{x^2}\] suy ra \[{x^2} = 14400\] suy ra \[x = 120\] và \[x = - 120\].

Do đó, tọa độ điểm \[M( - 120;27)\], \[N(120;27)\].

Có khoảng cách từ \[M\] lần lượt đến tâm \[O\] bằng khoảng cách từ \[N\] lần lượt đến tâm \[O\] hay \[MO = ON\].

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông \[EOM\], có:

\[O{E^2} + E{M^2} = O{M^2}\] hay \[{27^2} + {120^2} = O{M^2}\] suy ra \[OM = 123{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\].

Do đó, khoảng cách hai điểm \[M,N\] lần lượt đến tâm \[O\] là \[123{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\].