Câu hỏi:

18/03/2026 19

Cho \[a,b,c\] là các số thực dương thỏa mãn \[a + b + c = 1\]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \[A = \frac{{ab}}{{\sqrt {c + ab} }} + \frac{{bc}}{{\sqrt {a + bc} }} + \frac{{ca}}{{\sqrt {b + ca} }}\].

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 9 Chân trời sáng tạo có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: \[a + b + c = 1\] suy ra \[\left( {a + b + c} \right)c = c\] hay \[c = ac + bc + {c^2}\].

Suy ra \[c + ab = ac + bc + {c^2} = a\left( {c + b} \right) + c\left( {b + c} \right) = \left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)\].

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với hai số dương \[x,y\] ta luôn có:

\[\sqrt {xy} \le \frac{{x + y}}{2}\]. Dấu “=” xảy ra khi \[x = y\].

Suy ra \[\frac{1}{{\sqrt {c + ab} }} = \frac{1}{{\sqrt {\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)} }} \le \frac{{\frac{1}{{a + c}} + \frac{1}{{b + c}}}}{2}\]

Suy ra \[\frac{{ab}}{{\sqrt {c + ab} }} \le \frac{{ab}}{2}\left( {\frac{1}{{a + c}} + \frac{1}{{b + c}}} \right)\] (1)

Tương tự, có: \[a + bc = \left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)\]; \[b + ac = \left( {b + c} \right)\left( {b + a} \right)\].

Suy ra \[\frac{{bc}}{{\sqrt {a + bc} }} \le \frac{{bc}}{2}\left( {\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{a + c}}} \right)\] (2); \[\frac{{ac}}{{\sqrt {b + ac} }} \le \frac{{ac}}{2}\left( {\frac{1}{{c + b}} + \frac{1}{{a + b}}} \right)\] (3).

Cộng (1), (2), (3) theo vế, ta được:

\[A = \frac{{ab}}{{\sqrt {c + ab} }} + \frac{{bc}}{{\sqrt {a + bc} }} + \frac{{ca}}{{\sqrt {b + ca} }} \le \frac{{bc + ca}}{{2\left( {a + b} \right)}} + \frac{{bc + ab}}{{2\left( {a + b} \right)}} + \frac{{ac + ab}}{{2\left( {b + c} \right)}} = \frac{{a + b + c}}{2}\]

Suy ra \[A \le \frac{1}{2}\].

Dấu “=” xảy ra khi \[a = b = c = \frac{1}{3}.\]

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] nội tiếp \[\left( O \right)\]. Từ một điểm \[D\] trên cạnh \[BC\] kẻ đường thẳng vuông góc với \[BC\] cắt \[AC\] tại \[F\] và cắt tia đối của tia \[AB\] tại \[E\]. Gọi \[H\] là giao điểm của \[BF\] và \[CE\], tia \[HD\] cắt \[\left( O \right)\] tại \[K\].

(a) Chứng minh tứ giác \[AECD\] nội tiếp.

(b) Chứng minh \[BF.BH = BD.BC\] và \[AK \bot BC\].

(c) Gọi \[I\] là trung điểm của \[EF\]. Chứng minh \[OI \bot AH\].

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác A B C vuông tại A nội tiếp ( O ) . Từ một điểm D trên cạnh B C kẻ đường thẳng vuông góc với B C cắt A C tại F và cắt tia đối của tia A B tại E . Gọi H là giao điểm của B F và C E , tia H D cắt ( O ) tại K . (ảnh 1)

a) Xét \[\Delta EBC\] có:

\[CA \bot BE\] (vì tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\]) và \[ED \bot BC\] (giả thiết) mà \[CA \cap ED = \left\{ F \right\}\] nên \[F\] là giao điểm của ba đường cao trong tam giác \[\Delta EBC\], suy ra \[BF \bot EC\] tại \[H\] suy ra \[\widehat {BHC} = 90^\circ \].

Xét \[\left( {O;\frac{{BC}}{2}} \right)\] có \[\widehat {BHC} = 90^\circ \] nên \[H \in \left( O \right)\].

Vì \[CA \bot BE\] (cmt) nên \[\widehat {CAE} = 90^\circ \].

Vì \[ED \bot BC\] (cmt) nên \[\widehat {EDC} = 90^\circ \].

Xét tứ giác \[AECD\] có \[\widehat {CAE} = \widehat {EDC} = 90^\circ \] mà đỉnh \[A,D\] là hai đỉnh liền kề cùng nhìn cạnh \[EC\] nên \[AECD\] nội tiếp.

b) Xét \[\Delta BDF\] và \[\Delta BHC\] có: \[\widehat {HBC}\] chung và \[\widehat {BDF} = \widehat {BHC} = 90^\circ \].

Suy ra (g.g) suy ra \[\frac{{BF}}{{BC}} = \frac{{BD}}{{BH}}\] suy ra \[BF.BH = BD.BC\] (đpcm).

Xét đường tròn \[\left( {O;\frac{{BC}}{2}} \right)\] có (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \[AB\]).

Xét tứ giác \[FHCD\] có \[\widehat {FHC} = 90^\circ \] (Vì \[BH \bot EC\] tại \[H\]); \[\widehat {FDC} = 90^\circ \] (vì \[ED \bot BC\] tại \[D\]).

Suy ra \[\widehat {FHC} + \widehat {FDC} = 180^\circ \] mà \[\widehat {FHD}\] và \[\widehat {FCD}\] là hai góc đối nên tứ giác \[FHCD\] là tứ giác nội tiếp.

Suy ra mà \[\widehat {AHB} = \widehat {ACB}\] (cmt) nên \[\widehat {AHB} = \widehat {FHD}\] suy ra \[\widehat {AHB} = \widehat {BHK}\].

Mặt khác , .

Từ đó ta được \[AB = BK\].

Xét \[\left( {O;\frac{{BC}}{2}} \right)\] có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Suy ra tam giác \[BKC\] vuông tại \[K\].

Xét \[\Delta BKC\] và \[\Delta BAC\] có:

\[\widehat {BKC} = \widehat {BAC} = 90^\circ \]

\[BC\] chung

\[BA = BK\] (cmt)

Suy ra \[\Delta BKC = \Delta BAC\] (g.c.g)

Suy ra \[KC = AC\] (hai cạnh tương ứng).

Mà \[BA = BK\] nên \[BC\] là đường trung trực của \[AK\].

Suy ra \[AK \bot BC\] (đpcm).

Xét \[\Delta EAF\] vuông tại \[A\] có \[I\] là trung điểm của \[EF\] nên \[AI\] là đường trung tuyến của \[\Delta EAF\].

Suy ra \[AI = IE = IF = \frac{1}{2}EF\].

Xét \[\Delta HEF\] vuông tại \[H\] có \[I\] là trung điểm của \[EF\] nên \[HI\] là đường trung tuyến của \[\Delta HEF\]. Suy ra \[HI = IE = IF = \frac{1}{2}EF\].

Suy ra \[AI = HI\].

Xét \[\left( O \right)\] có \[OA = OH = R\] nên ta được \[OI\] là đường trung trực của \[AH.\]

Vậy \[OI \bot AH\]. (đpcm).

Câu 2

Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng \[{\rm{6 m}}\]. Diện tích của khu vườn là \[{\rm{216 }}{{\rm{m}}^2}\]. Tính chiều rộng và chiều dài mảnh vườn đó.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi chiều rộng của mảnh vườn nhà bạn An là: \(x\) (\(x > 0,{\rm{ m}}\)).

Khi đó: Chiều dài mảnh vườn nhà bạn An là: \[x + 6{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\].

Vì diện tích của mảnh vườn là \(216{\rm{ }}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\) nên ta có phương trình:

\(x\left( {x + 6} \right) = 216\) hay \({x^2} + 6x - 216 = 0\).

\(\Delta ' = {3^2} - \left( { - 216} \right) = 225 > 0\).

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1} = \frac{{ - 6 + \sqrt {225} }}{{2.1}} = 12\,\,\left( {TM} \right)\); \({x_2} = \frac{{ - 6 - \sqrt {225} }}{{2.1}} = - 18\,\,\left( L \right)\).

Do đó, chiều rộng của mảnh vườn nhà bạn An là: \[{\rm{12 }}\left( {\rm{m}} \right)\]

Chiều dài của mảnh vườn nhà bạn An là: \[12 + 6 = 18{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\].

Vậy chiều rộng và chiều dài của mảnh vườn nhà bạn An lần lượt là \[12{\rm{ m}}\] và \[18{\rm{ m}}\].

Câu 3