Kim cương là một khoáng sản quý, có rất nhiều giá trị và được sử dụng với nhiều mục đích khác nhau. Giá bán của một viên kim cương tỉ lệ với bình phương khối lượng của nó. Khi đem một viên kim cương cắt thành ba phần và vẫn bán với giá như trên (theo đúng tỉ lệ trên) thì tổng số tiền thu được tăng hay giảm? Trong trường hợp nào giá kim cương ban đầu giảm nhiều nhất?

a) Vì \[MA,MB\] là tiếp tuyến của \[\left( O \right)\] nên suy ra \[MA \bot OA,MB \bot OB\]

Suy ra \[\widehat {MAO} = \widehat {MBO} = 90^\circ \].

Xét tứ giác \[MAOB\] có \[\widehat {MAO} + \widehat {MBO} = 180^\circ \].

Suy ra \[MAOB\] nội tiếp đường tròn đường kính \[MO\].

Xét \[\left( O \right)\] có \[CD\] là dây cung và \[E\] là trung điểm của \[CD\] suy ra \[OE \bot CD\].

Suy ra \[\widehat {OEC} = 90^\circ \] suy ra \[\widehat {OEM} = 90^\circ \] với \[M \in CD\].

Xét tứ giác \[OEMB\] có:

\[\widehat {OEM} + \widehat {OBM} = 180^\circ \].

Suy ra tứ giác \[OEMB\] nội tiếp đường tròn đường kính \[MO\].

b) Xét \[\Delta MAC\] và \[\Delta MDA\] có:

\[\widehat {AMD}\] chung và \[\widehat {MDA} = \widehat {MAC}\] (cùng chắn cung \[AC\])

Suy ra (g.g) suy ra \[\frac{{MA}}{{MD}} = \frac{{MC}}{{MA}}\] hay \[MC.MD = M{A^2}\] (*).

Ta có: \[OA = OB = R\] và \[MA = MB\] (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Suy ra \[MO\] là đường trung trực của \[AB\].

Xét \[\Delta AMO\] và \[\Delta HMA\] có \[\widehat {MAO} = \widehat {MHA} = 90^\circ \] và \[\widehat {AMO} = \widehat {HMA}\]

Suy ra (g.g) suy ra \[MH.MO = M{A^2}\] (**).

Từ (*) và (**) suy ra \[MH.MO = MC.MD = M{A^2}\]

Suy ra \[\frac{{MC}}{{MH}} = \frac{{MO}}{{MD}}\].

Xét \[\Delta MCH\] và \[\Delta MOD\] có: \[\widehat {DMO}\] chung và \[\frac{{MC}}{{MH}} = \frac{{MO}}{{MD}}\].

Suy ra (c.g.c) suy ra \[\widehat {MHC} = \widehat {MDO}\].

Xét \[\Delta MOA\] có \[AH\] là đường cao (\[AH \bot OM\]); \[\widehat {MAO} = 90^\circ \] (chứng minh trên).

Xét \[\Delta OHA\] và \[\Delta OAM\] có: \[\widehat {HOA} = \widehat {AOM}\] và \[\widehat {OHA} = \widehat {OAM} = 90^\circ \].

Suy ra (g.g) suy ra \[OH.OM = O{A^2}\].

Xét tam giác \[\Delta OAM\], áp dụng định lí Pythagore, ta có: \[O{A^2} + A{M^2} = M{O^2}\].

Suy ra \[OH.OM + MC.MD = M{O^2}\].

a) • Tìm hàm số \[y = a{x^2}\].

Theo đề bài, ta có: hàm số \[y = a{x^2}\] đi qua điểm có tọa độ là \[\left( {200;75} \right)\] và \[\left( { - 200;75} \right)\].

Do đó, thay \[x = 200,y = 75\] vào hàm số \[y = a{x^2}\], ta được:

\[75 = a{.200^2}\] suy ra \[a = \frac{3}{{1600}}\].

Vậy hàm số đó là \[y = \frac{3}{{1600}}{x^2}\].

Để tính được chiều cao của \[CH\], ta thay \[x = 100\] vào hàm số \[y = \frac{3}{{1600}}{x^2}\], ta được:

\[y = \frac{3}{{1600}}{.100^2} = \frac{{75}}{4} = 18,75{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\].

Vậy độ dài đoạn \[CH = 18,75{\rm{ m}}\].

b) Ta có tọa độ điểm \[M( - {x_0};27)\] và \[N({x_0};27)\].

Thay \[y = 27\] vào hàm số \[y = \frac{3}{{1600}}{x^2}\], ta được:

\[27 = \frac{3}{{1600}}{x^2}\] suy ra \[{x^2} = 14400\] suy ra \[x = 120\] và \[x = - 120\].

Do đó, tọa độ điểm \[M( - 120;27)\], \[N(120;27)\].

Có khoảng cách từ \[M\] lần lượt đến tâm \[O\] bằng khoảng cách từ \[N\] lần lượt đến tâm \[O\] hay \[MO = ON\].

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông \[EOM\], có:

\[O{E^2} + E{M^2} = O{M^2}\] hay \[{27^2} + {120^2} = O{M^2}\] suy ra \[OM = 123{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\].

Do đó, khoảng cách hai điểm \[M,N\] lần lượt đến tâm \[O\] là \[123{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\].