Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh bằng \(a\sqrt 3 \) . Cạnh bên \(SB\) vuông góc với đáy và \(SB = 2a\), \(M\) là trung điểm của cạnh \(AC\), G là trọng tâm của tam giác \[ABC\] .
a) Chứng minh mặt phẳng \(\left( {SBM} \right)\) vuông góc mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).
b) Tính góc giữa hai đường thẳng SA và BC.
c) Tính khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng \[\left( {SAC} \right).\]
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh bằng \(a\sqrt 3 \) . Cạnh bên \(SB\) vuông góc với đáy và \(SB = 2a\), \(M\) là trung điểm của cạnh \(AC\), G là trọng tâm của tam giác \[ABC\] .
a) Chứng minh mặt phẳng \(\left( {SBM} \right)\) vuông góc mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).
b) Tính góc giữa hai đường thẳng SA và BC.
c) Tính khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng \[\left( {SAC} \right).\]
Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 11 cấu trúc mới (có đáp án) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
a) Vì \(SB \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SB \bot AC\)(1).
Vì \(\Delta ABC\) đều,\(M\) là trung điểm của AC nên \(BM \bot AC\)(2).
Từ (1) và (2), ta có \(AC \bot \left( {SBM} \right)\)\( \Rightarrow \left( {SAC} \right) \bot \left( {SBM} \right)\).
b) Dựng \(AD//BC\) khi đó \(ABCD\) là hình bình hành.
Khi đó \(\left( {BC,SA} \right) = \left( {SA,AD} \right)\).
Ta có \(BM = \frac{{3a}}{2} \Rightarrow BD = 3a\)
\(SD = \sqrt {S{B^2} + B{D^2}} = a\sqrt {13} \)
\(SA = \sqrt {S{B^2} + A{B^2}} = a\sqrt 7 \)
\(\cos \widehat {SAD} = \frac{{S{A^2} + A{D^2} - S{D^2}}}{{2.SA.AD}} = \frac{{7{a^2} + 3{a^2} - 13{a^2}}}{{2.a\sqrt 7 .a\sqrt 3 }} = - \frac{3}{{2\sqrt {21} }} \Rightarrow \widehat {SAD} \approx 109^\circ \).
Do đó \(\left( {BC,SA} \right) = \left( {SA,AD} \right) = 71^\circ \).
c) Dựng \(BI \bot SM\) .
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BI \bot SM\\BI \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow BI \bot \left( {SAC} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {B,\left( {SAC} \right)} \right) = BI\).
Xét \(\Delta SBM\) vuông tại B, có \(\frac{1}{{B{I^2}}} = \frac{1}{{S{B^2}}} + \frac{1}{{B{M^2}}} = \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{4}{{9{a^2}}} = \frac{{25}}{{36{a^2}}} \Rightarrow BI = \frac{{6a}}{5}\)
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên
\[{\rm{d}}\left( {G,\,\left( {SAC} \right)} \right) = \frac{1}{3}d\left( {B,\left( {SAC} \right)} \right) = \frac{{2a}}{5}\].
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Hướng dẫn giải
Gọi \(H\) là trung điểm \(AB\). Suy ra \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).
Ta giác \(SAB\) vuông cân tại \(S\), \(AB = a\), \(SH\) là đường cao vừa là trung tuyến nên \(SH = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}a.\)
Vậy \({V_{S.ACD}} = \frac{1}{3}{S_{ACD}}.SH = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}{a^2}.\frac{1}{2}a = \frac{{{a^3}}}{{12}}\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \(SA \bot (ABC) \Rightarrow SA \bot BC\) mà \(AH \bot BC\). Suy ra \(BC \bot (SAH)\)
b) Vì \(SA \bot (ABC)\)nên hình chiếu của SH trên mặt phẳng (ABC) là AH.
Suy ra \(\left( {SH,\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {SHA}\)
Có \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = a\sqrt 2 \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Xét \(\Delta SAH\) vuông tại \(A\), có \(\tan \widehat {SHA} = \frac{{SA}}{{AH}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 6 }}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}} = \sqrt 3 \).
Vậy \(\left( {SH,\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {SHA} = 60^\circ \).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập