Cho khối chóp \[S.ABC\] có đáy là tam giác đều cạnh \[a\], $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ bằng $\frac{{3a}}{4}$. Tính thể tích khối chóp đã cho.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 11 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 3a/4. Tính thể tích khối chóp đã cho. (ảnh 1)

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SM$.

Vì $\Delta ABC$ đều nên $AM \bot BC$ mà $BC \bot SA$ (do $SA \bot \left( {ABC} \right)$) nên $BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot AH$.

Mà $AH \bot SM$Þ $AH \bot \left( {SBC} \right)$

Khi đó ta có $AH = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)$.

Ta có: $AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},AH = \frac{{3a}}{4}$.

$\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{4}{{9{a^2}}} \Rightarrow SA = \frac{{3a}}{2}$.

\[V = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SA = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{3a}}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\].

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại A, $SA \bot (ABC)$và$AB = a$ $\,SA = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$. Gọi H là trung điểm cạnh BC.

a) Chứng minh: $BC \bot (SAH)$,

b) Tính góc giữa đường thẳng SH và mặt phẳng (ABC) .

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

$Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, SA vuông góc (ABC) và AB = a\)SA = a căn bậc hai 6/2). Gọi H là trung điểm cạnh BC. a) Chứng minh: BC vuông góc (SAH), b) Tính góc giữa đường thẳng SH và mặt phẳng (ABC) (ảnh 1)$

a) Ta có: $SA \bot (ABC) \Rightarrow SA \bot BC$ mà $AH \bot BC$. Suy ra $BC \bot (SAH)$

b) Vì $SA \bot (ABC)$nên hình chiếu của SH trên mặt phẳng (ABC) là AH.

Suy ra $\left( {SH,\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {SHA}$

Có $BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = a\sqrt 2 \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

Xét $\Delta SAH$ vuông tại $A$, có $\tan \widehat {SHA} = \frac{{SA}}{{AH}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 6 }}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}} = \sqrt 3 $.

Vậy $\left( {SH,\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {SHA} = 60^\circ $.

Câu 2

Giải các phương trình

a) ${\log _{16}}\left( {3x - 5} \right) = \frac{1}{2}$.

b) ${\log _3}x + {\log _3}\left( {x + 1} \right) = {\log _3}\left( {5x + 12} \right)$.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện $x > \frac{5}{3}$

${\log _{16}}\left( {3x - 5} \right) = \frac{1}{2}$$ \Leftrightarrow 3x - 5 = \sqrt {16} $$ \Leftrightarrow x = 3$ (thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 3$.

b) Điều kiện $x > 0$.

${\log _3}x + {\log _3}\left( {x + 1} \right) = {\log _3}\left( {5x + 12} \right)$$ \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {x\left( {x + 1} \right)} \right] = {\log _3}\left( {5x + 12} \right)$$ \Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right) = 5x + 12$$ \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 12 = 0$$ \Leftrightarrow x = - 2$(loại) hoặc $x = 6$(thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 6.$

Câu 3