Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$. Tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$ và $\left( {SAB} \right)$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo $a$ thể tích của khối tứ diện $S.ACD$.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 11 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB vuông cân tại S và (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích của khối tứ diện S.ACD (ảnh 1)

Gọi $H$ là trung điểm $AB$. Suy ra $SH \bot \left( {ABCD} \right)$.

Ta giác $SAB$ vuông cân tại $S$, $AB = a$, $SH$ là đường cao vừa là trung tuyến nên $SH = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}a.$

Vậy ${V_{S.ACD}} = \frac{1}{3}{S_{ACD}}.SH = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}{a^2}.\frac{1}{2}a = \frac{{{a^3}}}{{12}}$.

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại A, $SA \bot (ABC)$và$AB = a$ $\,SA = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$. Gọi H là trung điểm cạnh BC.

a) Chứng minh: $BC \bot (SAH)$,

b) Tính góc giữa đường thẳng SH và mặt phẳng (ABC) .

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

$Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, SA vuông góc (ABC) và AB = a\)SA = a căn bậc hai 6/2). Gọi H là trung điểm cạnh BC. a) Chứng minh: BC vuông góc (SAH), b) Tính góc giữa đường thẳng SH và mặt phẳng (ABC) (ảnh 1)$

a) Ta có: $SA \bot (ABC) \Rightarrow SA \bot BC$ mà $AH \bot BC$. Suy ra $BC \bot (SAH)$

b) Vì $SA \bot (ABC)$nên hình chiếu của SH trên mặt phẳng (ABC) là AH.

Suy ra $\left( {SH,\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {SHA}$

Có $BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = a\sqrt 2 \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

Xét $\Delta SAH$ vuông tại $A$, có $\tan \widehat {SHA} = \frac{{SA}}{{AH}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 6 }}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}} = \sqrt 3 $.

Vậy $\left( {SH,\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {SHA} = 60^\circ $.

Câu 2

Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình vuông cạnh a , cạnh bên \[SA \bot (ABCD)\] và $SA = a\sqrt 2 $.

a) Chứng minh:\[BC \bot (SAB)\].

b) Chứng minh: $\left( {SBD} \right) \bot \left( {SAC} \right)$.

c) Tính góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc (ABCD) và SA = a căn bậc hai 2 . a) Chứng minh:BC vuông góc (SAB) (ảnh 1)

a) Do $ABCD$ là hình vuông nên\[AB \bot BC\]

\[SA \bot (ABCD) \Rightarrow SA \bot BC\].

Vậy \[BC \bot (SAB)\]

b) Do ABCD là hình vuông nên\[AC \bot BD\]

\[SA \bot (ABCD) \Rightarrow SA \bot BD\].

$ \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)$

Mà $BD \subset \left( {SBD} \right)$ nên $\left( {SBD} \right) \bot \left( {SAC} \right)$.

c) \[\left. \begin{array}{l}(SBC) \cap (ABCD) = BC\\BC \bot AB\\BC \bot SB\left( {BC \bot (SAB)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow ((SBC),(ABCD)) = \]$\left( {SB,AB} \right) = \widehat {SBA}$.

Xét tam giác $SAB$ vuông tại A, có $tan\widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{a} = \sqrt 2 \Rightarrow \widehat {SBA} \approx 54^\circ $.

Câu 3