Trong một trường học, tỉ lệ học sinh nữ là \(52\% \). Tỉ lệ học sinh nữ và tỉ lệ học sinh nam tham gia câu lạc bộ nghệ thuật lần lượt là \(18\% \) và \(15\% \). Gặp ngẫu nhiên một học sinh của trường. Biết rằng học sinh có tham gia câu lạc bộ nghệ thuật. Tính xác suất học sinh đó là nam    

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ

a) Chọn 2 sản phẩm tốt từ 13 sản phẩm tốt trong hộp loại I là \(C_{13}^2 = 78\) cách.

b) Số cách chọn 2 phế phẩm từ 4 phế phẩm trong hộp loại II là \(C_4^2 = 6\) cách.

Tổng số cách chọn 2 sản phẩm từ 10 sản phẩm (6 tốt và 4 phế phẩm) trong hộp II là \(C_{10}^2 = 45\) cách.

Vậy xác suất chọn được 2 phế phẩm là \(\frac{6}{{45}} = \frac{2}{{15}}.\)

c) Gọi \(A\): “Chọn được trong thùng một hộp loại I”.

Và \(B\): “Chọn được trong thùng một hộp loại II”.

Xác suất chọn hộp loại I là \(P\left( A \right) = \frac{2}{5}\) và xác suất chọn hộp loại II là \(P\left( B \right) = \frac{3}{5}.\)

Gọi \(C\) là biến cố “Cả 2 sản phẩm lấy ra đều tốt”.

Xác suất lấy được 2 sản phẩm tốt từ hộp loại I là \(P\left( {C\left| A \right.} \right) = \frac{{C_{13}^2}}{{C_{15}^2}} = \frac{{26}}{{35}}.\)

Xác suất lấy được 2 sản phẩm tốt từ hộp II là \(P\left( {C\left| B \right.} \right) = \frac{{C_6^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{1}{3}.\)

Vậy xác suất hai sản phẩm lấy ra từ một hộp trong thùng đều tốt là

\(P\left( C \right) = P\left( {C\left| A \right.} \right).P\left( A \right) + P\left( {C\left| B \right.} \right).P\left( B \right) = \frac{{26}}{{35}}.\frac{2}{5} + \frac{1}{3}.\frac{3}{5} = \frac{{87}}{{175}}.\)

d) Xác suất lấy ra hai sản phẩm đều tốt thuộc hộp loại I là

Công thức Bayes: \(P\left( {A\left| C \right.} \right) = \frac{{P\left( {C\left| A \right.} \right).P\left( A \right)}}{{P\left( C \right)}} = \frac{{\frac{{26}}{{35}}.\frac{2}{5}}}{{\frac{{87}}{{125}}}} = \frac{{52}}{{87}}.\)

Gọi biến cố A: “Chi tiết lấy từ dây chuyền đạt tiêu chuẩn”.

Biến cố B: “Chi tiết do máy thứ nhất sản xuất”.

Biến cố \(\overline B \): “Chi tiết do máy thứ hai sản xuất”.

Ta cần tính xác suất \(P\left( {B|A} \right)\).

Theo đề ta có \(P\left( B \right) = 0,65;P\left( {\overline B } \right) = 0,35;P\left( {A|B} \right) = 0,8;P\left( {A|\overline B } \right) = 0,85\).

Suy ra \[P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)}} = \frac{{0,65.0,8}}{{0,65.0,8 + 0,35.0,85}} = \frac{{208}}{{327}}\].