Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + 2t\\y = 1 - t\\z = - 1 + 4t\end{array} \right.\) và \(d':\frac{{x + 4}}{3} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 4}}{{ - 1}}\), \(\left( \Delta \right):\frac{{x - 2}}{{ - 3}} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 1}}{1}\).

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S

Có \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2; - 1;4} \right)\), \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( {3;2; - 1} \right),\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( { - 3; - 2;1} \right)\).

a) Có \(\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{u_{d'}}} = 2.3 + \left( { - 1} \right).2 + 4.\left( { - 1} \right) = 0\). Do đó hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) vuông góc với nhau.

b) Ta có \(d':\frac{{x + 4}}{3} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 4}}{{ - 1}}\)\( \Rightarrow d':\left\{ \begin{array}{l}x = - 4 + 3t'\\y = - 2 + 2t'\\z = 4 - t'\end{array} \right.\).

Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l} - 3 + 2t = - 4 + 3t'\\1 - t = - 2 + 2t'\\ - 1 + 4t = 4 - t'\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2t - 3t' = - 1\\ - t - 2t' = - 3\\4t + t' = 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\t' = 1\\4.1 + 1 = 5\end{array} \right.\).

Vậy tọa độ giao điểm là \(\left( { - 1;0;3} \right)\).

c) Có \(\frac{3}{{ - 3}} = \frac{2}{{ - 2}} = \frac{{ - 1}}{1}\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{u_{d'}}} \) và \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \) cùng phương nên hai đường thẳng \(d'\) và \(\left( \Delta \right)\) song song hoặc trùng nhau.

d) Vì \(A\left( { - 4; - 2;4} \right) \in d'\) thay vào phương trình đường thẳng \(\Delta \) không thỏa mãn nên hai đường thẳng \(d'\) và \(\left( \Delta \right)\)không trùng nhau.