Một hộp bút bi Thiên Long có \(15\) chiếc bút trong đó có \(9\) chiếc bút mới. Người ta lấy ngẫu nhiên \(1\) chiếc bút để sử dụng sau đó trả lại vào hộp. Lần thứ hai lấy ngẫu nhiên \(2\) chiếc bút, tính xác suất cả hai chiếc bút lấy ra đều là chiếc mới.    

Đáp án đúng là: D

Xét các biến cố:

\(A:\) "Khách hàng chọn được bóng đèn Led màu trắng";

\(B:\) "Khách hàng chọn được bóng đèn Led không hỏng".

Ta có: \(P\left( A \right) = 0,65;\;\;P\left( {\bar A} \right) = 0,35;\;\;P\left( {B\mid A} \right) = 1 - P\left( {\bar B\mid A} \right) = 1 - 0,02 = 0,98\);

\(P\left( {B\mid \bar A} \right) = 1 - P\left( {\bar B\mid \bar A} \right) = 1 - 0,03 = 0,97\).

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B\mid A} \right) + P\left( {\bar A} \right).P\left( {B\mid \bar A} \right) = 0,65.0,98 + 0,35.0,97 = 0,9765\).

Đáp án đúng là: C

Gọi \({A_1},\;{A_2},\;{A_3}\) lần lượt là các biến cố gọi một sinh viên Giỏi, Khá, Trung Bình

Nên \({A_1},\;{A_2},\;{A_3}\) là hệ biến cố đầy đủ

Gọi \(B\) “ Sinh viên đó trả lời được \(4\) câu hỏi”

Ta có: \(P\left( {{A_1}} \right) = \frac{{C_2^1}}{{C_{10}^1}} = \frac{1}{5}\); \(P\left( {{A_2}} \right) = \frac{{C_3^1}}{{C_{10}^1}} = \frac{3}{{10}}\); \(P\left( {{A_3}} \right) = \frac{{C_5^1}}{{C_{10}^1}} = \frac{1}{2}\)

Ta lại có:

\(2\) sinh viên Giỏi (trả lời \(100\% \) các câu hỏi)\( \Rightarrow \) Trả lời \(20\) câu hỏi

\(3\) sinh viên Khá (trả lời \(80\% \) các câu hỏi) \( \Rightarrow \) Trả lời \(20.80\% = 16\) câu hỏi.

\(5\) sinh viên Trung Bình (trả lời \(50\% \) các câu hỏi) \( \Rightarrow \) Trả lời \(20.50\% = 10\) câu hỏi.

Từ đó \(P\left( {B|{A_1}} \right) = \frac{{C_{20}^4}}{{C_{20}^4}} = 1\), \(P\left( {B|{A_2}} \right) = \frac{{C_{16}^4}}{{C_{20}^4}} = \frac{{364}}{{969}}\), \(P\left( {B|{A_3}} \right) = \frac{{C_{10}^4}}{{C_{20}^4}} = \frac{{14}}{{323}}\)

Áp dụng công thức xác suất toàn phần

\(P\left( B \right) = P\left( {B|{A_1}} \right).P\left( {{A_1}} \right) + P\left( {B|{A_2}} \right).P\left( {{A_2}} \right) + P\left( {B|{A_3}} \right).P\left( {{A_3}} \right)\)

\( = 1.\frac{1}{5} + \frac{{364}}{{969}}.\frac{3}{{10}} + \frac{{14}}{{323}}.\frac{1}{2} = \frac{{108}}{{323}}\)

Xác suất để sinh viên đó là sinh viên khá là \(P\left( {{A_2}|B} \right)\)

Áp dụng công thức Bayes \(P\left( {{A_2}|B} \right) = \frac{{P\left( {B|{A_2}} \right).P\left( {{A_2}} \right)}}{{P\left( B \right)}}\)\(\frac{{\frac{{364}}{{969}}.\frac{3}{{10}}}}{{\frac{{108}}{{323}}}} = \frac{{91}}{{270}} \approx 0,337\).