Cho đường tròn \((O;R)\) và đường thẳng d không đi qua \[O\] cắt \((O)\) tại hai điểm \[A,{\rm{ }}B.\] Trên tia đối của tia \[BA\] lấy điểm \[M;\] qua \[M\] kẻ hai tiếp tuyến \[MC,{\rm{ }}MD\] với đường tròn \((O)\) \[(C,{\rm{ }}D\] là các tiếp điểm). Gọi \[H\] là trung điểm của \[AB;\] \[OM\] cắt đường tròn \((O)\) tại \[I\] và cắt \[CD\] tại \[K.\] Đường thẳng qua \[O\] vuông góc với \[OM,\] cắt tia \[MC\] và \[MD\] lần lượt tại \[P\] và \[Q.\]

Đáp án: a) Đ. b) S. c) Đ. d) S.

• Trong tam giác vuông \(BOA\) có \(BI\) là đường trung tuyến nên OI = AI = BI.  (1)

Trong tam giác vuông \(COA\) có \(CI\) là đường trung tuyến nên OI = AI = CI. (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(OI = AI = BI = CI\) nên bốn điểm \[C,\,\,O,\,\,B,\,\,A\;\] nằm trên đường tròn đường kính \(OA\) hay tứ giác \(ABOC\) nội tiếp. Do đó ý a) là đúng.

• Vì tứ giác \(ABOC\) nội tiếp nên \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(ABOC\). Do đó ý b) là sai.

• Vì \(\widehat {AHO} = 90^\circ \) nên \(H\) thuộc đường tròn \((I)\)

Theo tính chất tiếp tuyến giao nhau thì \(AB = AC\) nên .

Ta có \(\widehat {AHB} = \widehat {AHC}\) (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau).

Suy ra \(HA\) là phân giác góc \(\widehat {BHC}\). Do đó ý c) là đúng.

• Xét tam giác \(\Delta ACD\) và \(\Delta AEC\) có \[\widehat {CAD} = \widehat {EAC}\] (chung);

Do đó \(\Delta ACD\)\(\Delta AEC\) (g.g). Suy ra \(\frac{{AC}}{{AE}} = \frac{{AD}}{{AC}}\) hay \(A{C^2} = AD \cdot AE\). (1)

Xét tam giác \(\Delta ACK\) và \(\Delta AHC\) có \[\widehat {CAK} = \widehat {HAC}\] (chung); \[\widehat {ACK} = \widehat {CHA}\,\,\,( = \widehat {AHB}\,)\]

Do đó \(\Delta ACK\)\(\Delta AHC\) (g.g). Suy ra \(\frac{{AC}}{{AH}} = \frac{{AK}}{{AC}}\) hay \(A{C^2} = AH \cdot AK\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(AD \cdot AE = AK \cdot AH = \frac{1}{2}AK\left( {AH + AH} \right)\)

Khi đó \(AD \cdot AE = \frac{1}{2}AK\left( {AD + DH + AE - EH} \right)\)

\(2AD \cdot AE = AK\left( {AD + AE} \right)\)

\(\frac{2}{{AK}} = \frac{1}{{AD}} + \frac{1}{{AE}}\). Do đó ý d) là sai.

Vậy: a) Đ. b) S. c) Đ. d) S.

Đáp án: a) S. b) Đ. c) Đ. d) S.

Ta có bảng sau:

\[\Omega = \left\{ {\left( {1,\,\,1} \right)\,;\,\,\left( {1,\,2} \right)\,;\,\,\left( {1,\,3} \right)\,;\,\,\left( {2,\,1} \right)\,;\,\,\left( {2,\,\,2} \right);\left( {2,\,3} \right);\left( {3,\,1} \right);\left( {3,\,2} \right);\left( {3,\,3} \right)\,;\,\,\left( {4,\,1} \right)\,;\,\,\left( {4,\,2} \right)\,;\,\,\left( {4,\,3} \right)\,;\,\,\left( {5,\,1} \right)\,;\,\,\left( {5,\,2} \right)\,;\,\,\left( {5,\,3} \right)} \right\}.\]

⦁ Số phần tử của \(\Omega \) là \(15\). Do đó ý a) là sai.

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố \[E\] là: \[E = \left\{ {\left( {3\,,\,2} \right)\,;\,\,\left( {2\,.\,3} \right)} \right\}.\]

Suy ra có 2 kết quả thuận lợi cho biến cố \[E\]. Do đó ý b) là đúng.

⦁ Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố \(F\) là: \[\left\{ {\left( {1\,,\,\,1} \right)\,;\,\,\left( {1\,,\,\,2} \right)\,;\,\,\left( {2\,,\,\,1} \right)\,;\,\,\left( {1\,,\,\,3} \right)\,;\,\,\left( {3\,,\,1} \right)\,;\,\,\left( {2\,,\,\,2} \right)\,;\,\,\left( {4\,,\,\,1} \right)} \right\}.\]

Suy ra có 7 kết quả thuận lợi cho biến cố \(F\).

Số kết quả thuận lợi cho biến cố \[F\] nhiều hơn biến cố \[E\] là \(7 - 2 = 5.\) Do đó ý c) là đúng.

⦁ Số phần tử của \(\Omega \) là \(15\); số kết quả thuận lợi cho biến cố \[F\] là 7.

Xác suất của biến cố \(F\) là \(\frac{7}{{15}}\). Do đó ý d) là sai.

Vậy: a) S. b) Đ. c) Đ. d) S.