Cho đường tròn \((O;R)\) và đường thẳng d không đi qua \[O\] cắt \((O)\) tại hai điểm \[A,{\rm{ }}B.\] Trên tia đối của tia \[BA\] lấy điểm \[M;\] qua \[M\] kẻ hai tiếp tuyến \[MC,{\rm{ }}MD\] với đường tròn \((O)\) \[(C,{\rm{ }}D\] là các tiếp điểm). Gọi \[H\] là trung điểm của \[AB;\] \[OM\] cắt đường tròn \((O)\) tại \[I\] và cắt \[CD\] tại \[K.\] Đường thẳng qua \[O\] vuông góc với \[OM,\] cắt tia \[MC\] và \[MD\] lần lượt tại \[P\] và \[Q.\]

Đáp án: a) Đ. b) Đ. c) S. d) S.

• Tam giác \(OAB\) cân tại \(O\) (vì \(OA = OB\)) có \(OH\) là đường trung tuyến (vì \[H\] là trung điểm của dây cung \[AB\,).\]

Suy ra \(OH\) cũng là đường cao của \(\Delta OAB\) nên \(OH \bot AB\) hay \[\widehat {OHM} = 90^\circ \].

Mặt khác \[MC\] là tiếp tuyến của đường tròn nên \(OC \bot CM.\)

Xét tứ giác \[OMCH\] có \(\widehat {OHM} = \widehat {OCM} = 90^\circ \).

Khi đó, \[H\] và \[C\] cùng nằm trên đường tròn đường kính \[OM,\] có tâm là trung điểm của \[OM.\]

Suy ra tứ giác \[OMCH\] nội tiếp. Do đó ý a) là đúng.

• Tam giác \[ODM\] vuông tại \[D\] (vì \(\widehat {ODM} = 90^\circ ).\)

Mặt khác, \(MC = MD\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau); \(OC = OD = R.\)

Suy ra \[OM\] là đường trung trực của đoạn thẳng \[CD\] suy ra \(OM \bot CD\).

Trong tam giác vuông \[ODM\] có \[DK\] là đường cao ta có: \(O{D^2} = OK \cdot OM\).

Suy ra \(OK \cdot OM = {R^2}\). Do đó ý b) là đúng.

• Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có \[MO\] là tia phân giác của góc \[PMQ\].

Mặt khác \(MO \bot PQ\) nên tam giác \[PMQ\] cân tại \[M\] suy ra \(PQ = 2OP\).

Ta có \({S_{PMQ}} = \frac{1}{2}MO \cdot PQ = MO \cdot OP\). Trong tam giác vuông \[OMQ\] ta có:

\[\frac{1}{{O{D^2}}} = \frac{1}{{O{P^2}}} + \frac{1}{{O{M^2}}}\] suy ra \[\frac{1}{{{R^2}}} = \frac{1}{{O{P^2}}} + \frac{1}{{O{M^2}}}\]. Do đó ý c) là sai.

• Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

\[\frac{1}{{O{P^2}}} + \frac{1}{{O{M^2}}} \ge 2\sqrt {\frac{1}{{O{P^2}}} \cdot \frac{1}{{O{M^2}}}} = \frac{2}{{OP \cdot OM}}\] suy ra \[\frac{1}{{{R^2}}} \ge \frac{2}{{{S_{PMQ}}}}\]. Do đó \({S_{PMQ}} \ge 2{R^2}.\)

Dấu xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{O{M^2}}} = \frac{1}{{O{P^2}}}\\OM \cdot OP = 2{R^2}\end{array} \right.\)suy ra \(OM = OP = R\sqrt 2 .\)

Vậy \({S_{PMQ}}\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(OM = R\sqrt 2 \). Do đó ý d) là sai.

Vậy: a) Đ. b) Đ. c) S. d) S.