Cho \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có hai tiêu điểm \({F_1}\left( { - 4;0} \right),{F_2}\left( {4;0} \right)\) và điểm \(M\) thuộc \(\left( E \right)\). Biết chu vi tam giác \(M{F_1}{F_2}\) bằng 18. Tìm a.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 3,4

Vì tàu \(A\) đứng yên ở vị trí ban đầu nên tọa độ tàu \(A\) ứng \(t = 0\), suy ra \(A\left( {3; - 4} \right)\).

Khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu là khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường đi của tàu \(B\).

Vì vị trí tàu \(B\)có tọa độ là \(\left( {4 - 30t;3 - 40t} \right)\) nên tọa độ tàu \(B\) nằm trên đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - 30t\\y = 3 - 40t\end{array} \right.\).

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {4;3} \right)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( { - 30; - 40} \right)\), do đó đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {4; - 3} \right)\). Phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) là:

\(4\left( {x - 4} \right) - 3\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x - 3y - 7 = 0\).

Vậy khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu là \(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {4.3 - 3.\left( { - 4} \right) - 7} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{17}}{5} = 3,4\) (km).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 0,48

Đường thẳng \(d\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_d}} = \left( {1; - 2} \right)\).

Suy ra vectơ chỉ phương của \(d\) là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;1} \right)\).

Gọi \(d'\) là đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(d\), khi đó \(d'\) nhận vectơ chỉ phương của \(d\) là một vectơ pháp tuyến \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_{d'}}} = \left( {2;1} \right)\).

Phương trình đường thẳng \(d'\) là \(2\left( {x - 2} \right) + \left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 2 = 0\).

Gọi \(N\) là giao điểm của \(d\) và \(d'\), tọa độ điểm \(N\) là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = - 1\\2x + y = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{5}\\y = \frac{4}{5}\end{array} \right.\).

Vậy hình chiếu vuông góc của \(M\) lên đường thẳng \(d\) là \(N\left( {\frac{3}{5};\frac{4}{5}} \right) \Rightarrow a.b = \frac{{12}}{{25}} = 0,48\).