Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(M\left( {8;2} \right)\). Viết phương trình đường thẳng \(d\) qua \(M\) và \(d\) cắt tia \(Ox,Oy\) lần lượt tại \(A\left( {a;0} \right),B\left( {0;b} \right)\) sao cho tam giác \(ABO\) có diện tích nhỏ nhất.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(M\left( {8;2} \right)\). Viết phương trình đường thẳng \(d\) qua \(M\) và \(d\) cắt tia \(Ox,Oy\) lần lượt tại \(A\left( {a;0} \right),B\left( {0;b} \right)\) sao cho tam giác \(ABO\) có diện tích nhỏ nhất.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Ta có phương trình đường thẳng d có dạng: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\left( {a,b > 0} \right)\).
Do d đi qua \(M\left( {8;2} \right)\) nên ta có \(\frac{8}{a} + \frac{2}{b} = 1\).
Mặt khác diện tích của tam giác vuông .
Áp dụng BĐT Cô si ta có :
\(\begin{array}{*{20}{r}}{}&{1 = \frac{8}{a} + \frac{2}{b} \ge 2\sqrt {\frac{8}{a} \cdot \frac{2}{b}} \Leftrightarrow 1 \ge 2\sqrt {\frac{{16}}{{ab}}} \Leftrightarrow 1 \ge 2\frac{4}{{\sqrt {ab} }} \Leftrightarrow \sqrt {ab} \ge 8}\\{}&{\; \Leftrightarrow \frac{1}{2}ab \ge 32}\end{array}\)
Ta có diện tích của tam giác vuông \(ABO\) nhỏ nhất bằng 32 khi \(a,b\) thỏa mãn hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{8}{a} = \frac{2}{b}}\\{\frac{8}{a} + \frac{2}{b} = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 4b}\\{\frac{8}{a} + \frac{2}{b} = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 4b}\\{\frac{8}{{4b}} + \frac{2}{b} = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 4b}\\{b = 4}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 16}\\{b = 4}\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right.} \right.\).
Vậy phương trình đường thẳng (d): \(\frac{x}{{16}} + \frac{y}{4} = 1\)\( \Leftrightarrow 4x + 16y - 64 = 0\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án:
Hướng dẫn giải
Trả lời: 2
Parabol \(\left( P \right)\) có đường chuẩn là \(\Delta :x + \frac{1}{2} = 0\) và tiêu điểm \(F\left( {\frac{1}{2};0} \right)\).
Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm cần tìm.
Có \(M \in \left( P \right)\) nên \(y_0^2 = 2{x_0} \Rightarrow {x_0} = \frac{1}{2}y_0^2 \Rightarrow {x_0} \ge 0\).
Khoảng cách từ \(M\) đến tiêu điểm \(F\) bằng 4 nên \(MF = d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {{x_0} + \frac{1}{2}} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = 4\).
\( \Rightarrow {x_0} = \frac{7}{2}\) hoặc \({x_0} = - \frac{9}{2}\).
Mà \({x_0} \ge 0\) nên \({x_0} = \frac{7}{2}\) \( \Rightarrow y_0^2 = 7 \Rightarrow {y_0} = \pm \sqrt 7 \).
Vậy \(M\left( {\frac{7}{2};\sqrt 7 } \right)\) hoặc \(M\left( {\frac{7}{2}; - \sqrt 7 } \right)\).
Lời giải
Đáp án:
Hướng dẫn giải
Trả lời: 2
Đường thẳng \(\Delta \) có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 1 + 2t\end{array} \right.\).
Vì \(M \in \Delta \) nên \(M\left( {t; - 1 + 2t} \right)\).
Tam giác \(MAB\) cân tại \(M\) nên \(MA = MB\)
\( \Leftrightarrow {\left( {3 - t} \right)^2} + {\left( { - 2 - 2t} \right)^2} = {\left( {5 - t} \right)^2} + {\left( { - 2t} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow 13 + 2t = 25 - 10t\)\( \Leftrightarrow 12t = 12 \Leftrightarrow t = 1\).
Vậy điểm \(M\) cần tìm là \(M\left( {1;1} \right) \Rightarrow 1 + 1 = 2\).
Câu 3
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập