Một người kĩ sư thiết kế một đường hầm một chiều có mặt cắt là một nửa hình elip, chiều rộng của hầm là \[12\,{\rm{m}}\], khoảng cách từ điểm cao nhất của elip so với mặt đường là \[3\,{\rm{m}}\]. Người kĩ sư này muốn đưa ra cảnh báo cho các loại xe có thể đi qua hầm. Biết rằng những loại xe tải có chiều cao \[2,8\,{\rm{m}}\] thì có chiều rộng không quá \[3\,{\rm{m}}\]. Hỏi chiếc xe có chiều cao \[2,8\,{\rm{m}}\] có thể đi qua hầm được không?

Hướng dẫn giải

Trả lời: 2

Parabol \(\left( P \right)\) có đường chuẩn là \(\Delta :x + \frac{1}{2} = 0\) và tiêu điểm \(F\left( {\frac{1}{2};0} \right)\).

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm cần tìm.

Có \(M \in \left( P \right)\) nên \(y_0^2 = 2{x_0} \Rightarrow {x_0} = \frac{1}{2}y_0^2 \Rightarrow {x_0} \ge 0\).

Khoảng cách từ \(M\) đến tiêu điểm \(F\) bằng 4 nên \(MF = d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {{x_0} + \frac{1}{2}} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = 4\).

\( \Rightarrow {x_0} = \frac{7}{2}\) hoặc \({x_0} = - \frac{9}{2}\).

Mà \({x_0} \ge 0\) nên \({x_0} = \frac{7}{2}\) \( \Rightarrow y_0^2 = 7 \Rightarrow {y_0} = \pm \sqrt 7 \).

Vậy \(M\left( {\frac{7}{2};\sqrt 7 } \right)\) hoặc \(M\left( {\frac{7}{2}; - \sqrt 7 } \right)\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 2

Đường thẳng \(\Delta \) có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 1 + 2t\end{array} \right.\).

Vì \(M \in \Delta \) nên \(M\left( {t; - 1 + 2t} \right)\).

Tam giác \(MAB\) cân tại \(M\) nên \(MA = MB\)

\( \Leftrightarrow {\left( {3 - t} \right)^2} + {\left( { - 2 - 2t} \right)^2} = {\left( {5 - t} \right)^2} + {\left( { - 2t} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow 13 + 2t = 25 - 10t\)\( \Leftrightarrow 12t = 12 \Leftrightarrow t = 1\).

Vậy điểm \(M\) cần tìm là \(M\left( {1;1} \right) \Rightarrow 1 + 1 = 2\).