Một người kĩ sư thiết kế một đường hầm một chiều có mặt cắt là một nửa hình elip, chiều rộng của hầm là \[12\,{\rm{m}}\], khoảng cách từ điểm cao nhất của elip so với mặt đường là \[3\,{\rm{m}}\]. Người kĩ sư này muốn đưa ra cảnh báo cho các loại xe có thể đi qua hầm. Biết rằng những loại xe tải có chiều cao \[2,8\,{\rm{m}}\] thì có chiều rộng không quá \[3\,{\rm{m}}\]. Hỏi chiếc xe có chiều cao \[2,8\,{\rm{m}}\] có thể đi qua hầm được không?

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

Phương trình chính tắc của elip có dạng \[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,(a > b > 0)\]

Theo đề bài thì elip đi qua các điểm \[A(6;0)\]và \[B(0;3)\].

Do đó ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{6^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\\\frac{{{0^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{3^2}}}{{{b^2}}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 36\\{b^2} = 9\end{array} \right.\].

Vậy phương trình của elip là \[\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\,.\]

Với những xe tải có chiều cao \[2,8\,{\rm{m}}\], chiều rộng của xe tải là \[3\,{\rm{m}}\] tương ứng với \[x = 1,5.\]Thế \[x = 1,5\] vào phương trình elip ta được \[\frac{{{{1,5}^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\, \Rightarrow y = 3\sqrt {1 - \frac{{{{1,5}^2}}}{{36}}} \approx 2,9 > 2,8.\]

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Có hai con tàu \(A,B\) xuất phát từ hai bến, chuyển động theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình rađa của trạm điều khiển (xem như mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) với đơn vị trên các trục tính bằng kilômét), tại thời điểm \(t\) (giờ), vị trí của tàu \(A\) có tọa độ được xác định bởi công thức \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 33t\\y = - 4 + 25t\end{array} \right.\); vị trí tàu \(B\) có tọa độ là \(\left( {4 - 30t;3 - 40t} \right)\). Nếu tàu \(A\) đứng yên ở vị trí ban đầu, tàu \(B\) chạy thì khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng bao nhiêu km?

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Trả lời: 3,4

Vì tàu \(A\) đứng yên ở vị trí ban đầu nên tọa độ tàu \(A\) ứng \(t = 0\), suy ra \(A\left( {3; - 4} \right)\).

Khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu là khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường đi của tàu \(B\).

Vì vị trí tàu \(B\)có tọa độ là \(\left( {4 - 30t;3 - 40t} \right)\) nên tọa độ tàu \(B\) nằm trên đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - 30t\\y = 3 - 40t\end{array} \right.\).

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {4;3} \right)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( { - 30; - 40} \right)\), do đó đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {4; - 3} \right)\). Phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) là:

\(4\left( {x - 4} \right) - 3\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x - 3y - 7 = 0\).

Vậy khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu là \(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {4.3 - 3.\left( { - 4} \right) - 7} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{17}}{5} = 3,4\) (km).

Câu 2

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:x - 2y + 1 = 0\) và điểm \(M\left( {2; - 2} \right)\). Tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm \(M\) lên đường thẳng \(d\) là \(N\left( {a;b} \right)\). Khi đó \(a.b\) bằng bao nhiêu? Viết kết quả dưới dạng số thập phân.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Trả lời: 0,48

Đường thẳng \(d\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_d}} = \left( {1; - 2} \right)\).

Suy ra vectơ chỉ phương của \(d\) là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;1} \right)\).

Gọi \(d'\) là đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(d\), khi đó \(d'\) nhận vectơ chỉ phương của \(d\) là một vectơ pháp tuyến \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_{d'}}} = \left( {2;1} \right)\).

Phương trình đường thẳng \(d'\) là \(2\left( {x - 2} \right) + \left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 2 = 0\).

Gọi \(N\) là giao điểm của \(d\) và \(d'\), tọa độ điểm \(N\) là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = - 1\\2x + y = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{5}\\y = \frac{4}{5}\end{array} \right.\).

Vậy hình chiếu vuông góc của \(M\) lên đường thẳng \(d\) là \(N\left( {\frac{3}{5};\frac{4}{5}} \right) \Rightarrow a.b = \frac{{12}}{{25}} = 0,48\).

Câu 3