Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( {3; - 3} \right),B\left( {5; - 1} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :2x - y - 1 = 0\). Tính tổng hoành độ và tung độ của điểm \(M\) biết \(M\) thuộc \(\Delta \) sao cho tam giác \(MAB\) cân tại \(M\).

Hướng dẫn giải

Phương trình đường thẳng cần tìm có dạng: .

Theo giả thiết, ta có:

\[{\rm{cos}}{45^0} = \frac{{\left| {A + 3B} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} .\sqrt {10} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \left| {A + 3B} \right| = \sqrt 5 \sqrt {{A^2} + {B^2}} \]\( \Leftrightarrow 2{A^2} - 3AB - 2{B^2} = 0\).

Nếu \(B = 0\) thì \(A = 0\) (loại)

Nếu \(B \ne 0\) thì

\(2{A^2} - 3AB - 2{B^2} = 0\)\( \Leftrightarrow 2{\left( {\frac{A}{B}} \right)^2} - 3\frac{A}{B} - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{A}{B} = 2 \Rightarrow A = 2;B = 1\\\frac{A}{B} = - \frac{1}{2} \Rightarrow A = 1;B = - 2\end{array} \right.\).

Vậy có hai đường thẳng  thỏa yêu cầu bài toán là \[2(x + 2) + y = 0 \Leftrightarrow 2x + y + 4 = 0\] và \[1(x + 2) - 2y = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 2 = 0\].

Hướng dẫn giải

a) Phương trình của đường tròn là \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 49\).

b) Ta có \(\overrightarrow {AI} = \left( {3; - 4} \right)\), bán kính của đường tròn là \(R = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = 5\).

Phương trình của đường tròn là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 25\).

c) Toạ độ trung điểm \(I\) của \(AB\) là \(I\left( { - 2;1} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {AI} = \left( { - 1;4} \right)\).

Bán kính của đường tròn là \(R = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {4^2}} = \sqrt {17} \).

Phương trình của đường tròn là \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 17\).

d) Có tâm \(I\left( {1;3} \right)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(x + 2y + 3 = 0\).

Khoảng cách từ tâm \(I\) đến đường thẳng \(x + 2y + 3 = 0\) bằng bán kính \(R = \frac{{|1 + 2.3 + 3|}}{{\sqrt 5 }} = 2\sqrt 5 \).

Phương trình đường tròn tâm \(I\) bán kính \(R\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 20\).