Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(M\left( {8;2} \right)\). Viết phương trình đường thẳng \(d\) qua \(M\) và \(d\) cắt tia \(Ox,Oy\) lần lượt tại \(A\left( {a;0} \right),B\left( {0;b} \right)\) sao cho tam giác \(ABO\) có diện tích nhỏ nhất.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(M\left( {8;2} \right)\). Viết phương trình đường thẳng \(d\) qua \(M\) và \(d\) cắt tia \(Ox,Oy\) lần lượt tại \(A\left( {a;0} \right),B\left( {0;b} \right)\) sao cho tam giác \(ABO\) có diện tích nhỏ nhất.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Ta có phương trình đường thẳng d có dạng: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\left( {a,b > 0} \right)\).
Do d đi qua \(M\left( {8;2} \right)\) nên ta có \(\frac{8}{a} + \frac{2}{b} = 1\).
Mặt khác diện tích của tam giác vuông .
Áp dụng BĐT Cô si ta có :
\(\begin{array}{*{20}{r}}{}&{1 = \frac{8}{a} + \frac{2}{b} \ge 2\sqrt {\frac{8}{a} \cdot \frac{2}{b}} \Leftrightarrow 1 \ge 2\sqrt {\frac{{16}}{{ab}}} \Leftrightarrow 1 \ge 2\frac{4}{{\sqrt {ab} }} \Leftrightarrow \sqrt {ab} \ge 8}\\{}&{\; \Leftrightarrow \frac{1}{2}ab \ge 32}\end{array}\)
Ta có diện tích của tam giác vuông \(ABO\) nhỏ nhất bằng 32 khi \(a,b\) thỏa mãn hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{8}{a} = \frac{2}{b}}\\{\frac{8}{a} + \frac{2}{b} = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 4b}\\{\frac{8}{a} + \frac{2}{b} = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 4b}\\{\frac{8}{{4b}} + \frac{2}{b} = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 4b}\\{b = 4}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 16}\\{b = 4}\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right.} \right.\).
Vậy phương trình đường thẳng (d): \(\frac{x}{{16}} + \frac{y}{4} = 1\)\( \Leftrightarrow 4x + 16y - 64 = 0\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án:
Hướng dẫn giải
Trả lời: 10
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(B\) lên \(d:3x + 4y + 8 = 0\).
Khi đó khoảng cách từ điểm \(B\) đến đường thẳng \(d\) là \(BH = \frac{{\left| {3.1 + 4.1 + 8} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 3\).
\(H\) là trung điểm của \(MN\) nên \(HM = 4\).
Suy ra bán kính đường tròn \(\left( C \right)\) là
\(R = \sqrt {B{H^2} + H{M^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\).
Vậy đường kính đường tròn \(\left( C \right)\) là 10.
Câu 2
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Hướng dẫn giải
a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ
a) Elip \(\left( E \right)\) có tiêu điểm \({F_2}\left( {\sqrt 2 ;0} \right) \Rightarrow c = \sqrt 2 \Rightarrow \)tiêu cự bằng \(2\sqrt 2 \).
b) Vì \(A \in \left( E \right) \Leftrightarrow \frac{{{2^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow {a^2} = 4 \Rightarrow a = 2\).
c) Có \({c^2} = {a^2} - {b^2}\) mà \(c = \sqrt 2 \). Do đó \({a^2} - {b^2} = 2\).
d) Có \({a^2} - {b^2} = 2\)\( \Rightarrow {b^2} = 2\). Vậy \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{2} = 1\).
Thay tọa độ điểm \(B\left( {0;\sqrt 2 } \right)\) vào phương trình \(\left( E \right)\) ta được \(\frac{{{0^2}}}{4} + \frac{2}{2} = 1\) (luôn đúng).
Do đó điểm \(B\left( {0;\sqrt 2 } \right)\) thuộc elip \(\left( E \right)\).
Câu 3
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập