Cho số tự nhiên \(n\) thỏa mãn \(3C_{n + 1}^3 - 3A_n^2 = 52\left( {n - 1} \right)\). Tìm \(n\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi số cần tìm có dạng \[\overline {abcd} \] với \[\left( {a,b,c,d} \right) \in A = \left\{ {0,1,2,3,4,5} \right\}.\]

Vì \[\overline {abcd} \] là số chẵn \[ \Rightarrow \,\,d = \left\{ {0,2,4} \right\}.\]

TH1. Nếu \[d = 0,\] số cần tìm là \[\overline {abc0} .\] Khi đó:

\( \bullet \) \[a\] được chọn từ tập \[A{\rm{\backslash }}\left\{ 0 \right\}\] nên có \[5\] cách chọn.

\( \bullet \) \[b\] được chọn từ tập \[A{\rm{\backslash }}\left\{ {0,\,\,a} \right\}\] nên có \[4\] cách chọn.

\( \bullet \) \[c\] được chọn từ tập \[A{\rm{\backslash }}\left\{ {0,\,\,a,\,\,b} \right\}\] nên có \[3\] cách chọn.

Như vậy, ta có \[5 \times 4 \times 3 = 60\] số có dạng \[\overline {abc0} .\]

TH2. Nếu \[d = \left\{ {2,4} \right\} \Rightarrow \,\,d:\] có \[2\] cách chọn.

Khi đó \[a:\] có \[4\] cách chọn, \[b:\] có \[4\] cách chọn và \[c:\] có \[3\] cách chọn.

Như vậy, ta có \[2 \times 4 \times 4 \times 3 = 96\] số cần tìm như trên.

Vậy có tất cả \[60 + 96 = 156\] số cần tìm.

Hướng dẫn giải

Ta có \(M = C_4^0{a^4} + C_4^1{a^3}\left( {1 - a} \right) + C_4^2{a^2}{\left( {1 - a} \right)^2} + C_4^3a{\left( {1 - a} \right)^3} + C_4^4{\left( {1 - a} \right)^4} = {\left[ {a + \left( {1 - a} \right)} \right]^4} = 1\).