Tìm đa thức \[f\left( x \right)\] biết \[f\left( x \right)\] chia cho \[x - 3\] thì dư 7, \[f\left( x \right)\] chia cho \[x - 2\] thì dư 5, \[f\left( x \right)\] chia cho \[\left( {x - 3} \right)\left( {x - 2} \right)\] thì được thương là \[3x\] và còn dư.

Vì thức \[f\left( x \right)\] biết \[f\left( x \right)\] chia cho \[x - 3\] thì dư 7, \[f\left( x \right)\] chia cho \[x - 2\] thì dư 5, ta có:

\(f\left( x \right) = \left( {x - 3} \right) \cdot P(x) + 7\) (1)

\(f\left( x \right) = \left( {x - 2} \right) \cdot Q(x) + 5\) (2)

\[f\left( x \right)\] chia cho \[\left( {x - 3} \right)\left( {x - 2} \right)\] thì được thương là \[3x\] và còn dư, ta có:

\[f\left( x \right) = \left( {x - 2} \right).\left( {x - 3} \right).3x + ax + b\] (3)

Từ (1), (2), (3) ta có:

Với \[x = 2\] thì \[a \cdot 2 + b = 5\] (4)

Cho \[x = 3\] thì \[a \cdot 3 + b = 7\] (5)

Từ (4) và (5) tìm được \[a = 2,\,\,b = 1\].

Vậy đa thức \[f(x) = \left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right) \cdot 3x + 2x + 1\]\[ = 3{x^3} - 15{x^2} + 20x + 1\].