Tính giá trị của biểu thức \[A = {x^2}\left( {x - 1} \right) + {y^2}\left( {x - 1} \right) + {z^2}\left( {x - 1} \right) - 1\] biết rằng \[{x^2} + {y^2} + {z^2} = 0\].

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Ta có tam giác \[ABC\] cân tại \[A\] nên \[\widehat B = \widehat C\].

Mà \[CP\] và \[BQ\] là các đường phân giác trong của tam giác \[ABC\] nên

\[\widehat {PBQ} = \widehat {QBC} = \widehat {PCB} = \widehat {QCP} = \frac{1}{2}\widehat B\] hay \[\widehat {OBC} = \widehat {OCB}\].

Do đó, tam giác \[OBC\] cân tại \[O\].

b) Ta có hai đường phân giác \[CP\] và \[BQ\] cắt nhau tại \[O\] nên \[O\] là giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác \[ABC\].

Do đó, \[AO\] cũng là đường phân giác của \[\widehat {BAC}\].

Mà tam giác \[ABC\] cân tại \[A\] nên \[AO\] cũng là đường cao của tam giác \[ABC\].

Do đó, \[AO\] vuông góc với \[BC.\]

c) Xét \[\Delta ABQ\] và \[\Delta ACP\] có: \[\widehat A\] chung (gt), \[AC = AB\] (gt) và \[\widehat {ABQ} = \widehat {ACP} = \frac{{\widehat C}}{2}\] (gt)

Suy ra \[\Delta ABQ = \Delta ACP\] (g.c.g)

Do đó, \[CP = BQ\] (hai cạnh tương ứng)

d) Do \[\Delta ABQ = \Delta ACP\] (cmt) nên \[AQ = AP\] (hai cạnh tương ứng)

Do đó, \[\Delta AQP\] cân tại \[A\].

Đáp án: \[78\]

Gọi chiều dài và chiều rộng của khu đất lần lượt là \[x\] và \[y\] \[\left( {0 < y < x} \right)\].

Theo đề, ta có chiều dài và chiều rộng tỉ lệ với 8 và 5 nên \[\frac{x}{8} = \frac{y}{5}\].

Diện tích của khu đất đó bằng \[360{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}\] nên \[xy = 360\].

Đặt \[\frac{x}{8} = \frac{y}{5} = k\] với \[k > 0\] thì \[x = 8k\] và \[y = 5k\].

Do đó, \[xy = 360\] hay \[8k.5k = 360\] hay \[40{k^2} = 360\].

Suy ra \[{k^2} = 9\] nên \[k = 3\] (\[k > 0\]).

Lúc này, \[x = 3.8 = 24\] và \[y = 5.3 = 15\].

Vậy chu vi của thửa ruộng là: \[2.\left( {24 + 15} \right) = 78\] (m).