Từ một tấm nhôm hình vuông có cạnh bằng 8 dm, người ta cắt bỏ bốn tứ giác bằng nhau (cùng bằng tứ giác \(AMNP\)) ở bốn góc của tấm nhôm đó, biết \[AM = AP = 1\,dm\] và điểm \(N\) thuộc đường chéo \(AC\). Với phần còn lại của tấm nhôm sau khi đã cắt bỏ đi 4 tứ giác nói trên, người ta đã gập các đoạn \(MN\)trùng với \(PN\)rồi dán kĩ bằng keo, làm tương tự cho 3 cặp đoạn còn lại, người ta thu được chậu nước hình chóp cụt tứ giác đều. Sức chứa lớn nhất của chậu nước hình chóp cụt tứ giác đều này là bao nhiêu lít (làm tròn đến hàng đơn vị, bỏ qua độ dày tấm nhôm)?

Trả lời: 9900.

Phân tích bài toán:

1. Có 15 quả bóng được đánh số từ 1 đến 15.

2. Có 3 chiếc hộp giống nhau (mất nhãn).

3. Mỗi hộp có 6 ngăn được đánh số từ 1 đến 6. Mỗi ngăn chứa tối đa 1 quả bóng.

4. Tổng số ngăn là \(3 \times 6 = 18\) ngăn.

5. Sau khi bỏ 15 quả bóng vào, còn lại \(18 - 15 = 3\) ngăn trống.

6. \(N\) là số cách thực hiện sao cho:

Có đúng một hộp mà các quả bóng được bỏ vào có số tăng dần theo thứ tự từ trên xuống.

Hộp đó chứa đủ 6 quả bóng.

Bước 1: Chọn và sắp xếp các quả bóng cho hộp "có thứ tự" (hộp O).

Hộp O phải chứa đủ 6 quả bóng, và các quả bóng này phải có số tăng dần từ ngăn 1 đến ngăn 6.

Số cách chọn 6 quả bóng từ 15 quả: \(C_{15}^6\) cách.

Một khi 6 quả bóng được chọn (ví dụ: \({b_1} < {b_2} <  \ldots  < {b_6}\)), chỉ có 1 cách duy nhất để sắp xếp chúng vào 6 ngăn của hộp O theo thứ tự tăng dần (ngăn 1 chứa \({b_1}\), ngăn 2 chứa \({b_2}\),., ngăn 6 chứa \({b_6}\)).

Vậy, số cách chuẩn bị hộp O là \(C_{15}^6 \times 1 = C_{15}^6 = 5005\) cách.

Bước 2: Phân phối các quả bóng còn lại vào 2 hộp còn lại (hộp X và hộp Y) sao cho không hộp nào trong số đó "có thứ tự".

Sau khi chọn 6 quả bóng cho hộp O, còn lại \(15 - 6 = 9\) quả bóng.

Còn lại \(18 - 6 = 12\) ngăn cho hộp X và hộp Y (mỗi hộp 6 ngăn).

Trong 12 ngăn này, 9 quả bóng sẽ được đặt vào, để lại \(12 - 9 = 3\) ngăn trống.

Điều kiện là: không hộp nào trong hộp X và hộp Y thỏa mãn điều kiện "có thứ tự" (tức là chứa 6 quả bóng được sắp xếp tăng dần).

Để tính số cách phân phối 9 quả bóng vào 12 ngăn của hộp X và hộp Y (tạm thời coi là phân biệt), chúng ta sử dụng nguyên lý bù trừ.

Tổng số cách đặt 9 quả bóng vào 12 ngăn (phân biệt):

Chọn 9 ngăn từ 12 ngăn và sắp xếp 9 quả bóng vào 9 ngăn đã chọn,

số cách chọn và sắp xếp là \(C_{12}^9 \times 9! = 79833600\) cách.

Số cách mà hộp X "có thứ tự":

Để hộp X "có thứ tự", nó phải chứa 6 quả bóng và được sắp xếp tăng dần.

Chọn 6 quả bóng từ 9 quả còn lại cho hộp X: \(C_9^6\) cách.

Sắp xếp 6 quả này vào hộp X theo thứ tự tăng dần: 1 cách.

Còn lại \(9 - 6 = 3\) quả bóng cho hộp Y.

Đặt 3 quả bóng này vào 6 ngăn của hộp Y:

Chọn 3 ngăn từ 6 ngăn và sắp xếp 3 quả bóng vào 3 ngăn đã chọn: \(C_6^3 \times 3! = 120\)cách.

Số cách mà hộp X "có thứ tự" = \(C_9^6.1.120 = 10080\).

Số cách mà hộp Y "có thứ tự":

Tương tự như hộp X, số cách mà hộp Y "có thứ tự" là 10080.

Số cách mà cả hộp X và hộp Y đều "có thứ tự":

Điều này là không thể, vì cần \(6 + 6 = 12\) quả bóng, nhưng chỉ có 9 quả bóng còn lại. Vậy số cách là 0.

Số cách để 9 quả bóng được đặt vào hộp X và hộp Y (phân biệt) mà không hộp nào "có thứ tự" (gọi là \(A\)):

\(A = 79833600 - (10080 + 10080) + 0 = 79813440\).

Bước 3: Xử lý điều kiện "3 chiếc hộp mất nhãn (giống nhau)".

Chúng ta đã tính số cách chọn và sắp xếp cho hộp O, và số cách sắp xếp cho hai hộp X và Y phân biệt.

Vì các hộp ban đầu là giống nhau, điều này có nghĩa là "một hộp O, một hộp X, một hộp Y" là một cấu hình, không phân biệt vị trí vật lý của chúng.

Tuy nhiên, hộp O có tính chất riêng biệt (chứa 6 quả bóng có thứ tự), còn hộp X và hộp Y thì không có thứ tự.

Hơn nữa, số lượng bóng trong hộp X và hộp Y sẽ khác nhau:

Nếu hộp X có 3 bóng, hộp Y có 6 bóng.

Nếu hộp X có 4 bóng, hộp Y có 5 bóng.

(Không thể có \({k_X} = {k_Y}\) vì \({k_X} + {k_Y} = 9\)).

Vì số lượng bóng khác nhau, cấu hình của hộp X và hộp Y sẽ luôn khác nhau (\({C_X} \ne {C_Y}\)).

Do đó, khi chúng ta tính \(A = 79813440\), chúng ta đã tính các cặp sắp xếp có thứ tự \(({C_X},{C_Y})\) ví dụ:

(Hộp X chứa 3 bóng được sắp xếp, Hộp Y chứa 6 bóng được sắp xếp không thứ tự)

(Hộp X chứa 6 bóng được sắp xếp không thứ tự, Hộp Y chứa 3 bóng được sắp xếp)

Hai trường hợp này được tính là khác nhau trong \(A\).

Vì hộp X và hộp Y là các hộp giống nhau, thì các cặp sắp xếp trên thực tế là tương đương nhau (chỉ khác vị trí). Tức là, tập hợp \(\{ {C_X},{C_Y}\} \) được tính 2 lần trong \(A\).

Vì vậy, số cách thực hiện cho 2 hộp còn lại (giống nhau, không có thứ tự) là \(\frac{A}{2}\)\( = \frac{{79813440}}{2} = 39906720\).

Bước 4: Tính giá trị của N.

\(N = C_{15}^6.\frac{A}{2} = 5005 \times 39906720 = 199733133600\).

Suy ra \(\frac{N}{{20175064}}\)\( = \frac{{199733133600}}{{20175064}} = 9900\).

Đáp án: \(7\).

Gọi \(t\,\left( {t \in \mathbb{N}*} \right)\) là số trạm phụ cần xây dựng. Khi đó:

Khoảng cách giữa hai trạm phụ liền kề nhau là \(x = \frac{{100}}{{t + 1}}\) \(\left( {km} \right)\)

Số đoạn nối cáp quang giữa hai trạm liền kề là \(\,t + 1\)

Tổng chi phí là:

\(\begin{array}{l}f\left( t \right) = 320t + \,\left( {t + 1} \right).\frac{{100}}{{t + 1}}\left( {5 + 2.\frac{{100}}{{t + 1}}} \right) = 320t + 500 + \frac{{20000}}{{t + 1}}\\f'\left( t \right) = 320 - \frac{{20000}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}};\,\,\\f'\left( t \right) = 0\, \Leftrightarrow \,{\left( {t + 1} \right)^2} = \frac{{20000}}{{320}}\, \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}t = \, - 1 + \frac{{5\sqrt {10} }}{2}\,\\t =  - 1 - \frac{{5\sqrt {10} }}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Nhận thấy \(\mathop {Min}\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} \,f\left( t \right)\, = \,f\left( { - 1 + \frac{{5\sqrt {10} }}{2}} \right)\).

Do \( - 1 + \frac{{5\sqrt {10} }}{2} \approx \,6,9\,\,v\`a \,\,\,t\, \in \,{\mathbb{N}^*}\,\)nên ta so sánh \(f\left( 6 \right)\,\,v\`a \,\,f\left( 7 \right)\).

\(\begin{array}{l}f\left( 6 \right) = 320.6 + 500 + \frac{{20000}}{{6 + 1}} = \frac{{36940}}{7} \approx 5277,1\\f\left( 7 \right) = 320.7 + 500 + \frac{{20000}}{{7 + 1}} = 5240\, < \,f\left( 6 \right)\end{array}\)

Do đó nhà mạng cần xây thêm \(7\) trạm phụ để tổng chi phí thi công là thấp nhất.