Một đường hầm hiện đại được thiết kế với mặt đáy là hình thang \(ACDF\) vuông tại \(A\) và \(C\)\[\left( {AF{\rm{//}}CD} \right)\]. Xét một thiết diện bất kì của đường hầm vuông góc với \(AC\) là một hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(\left( P \right)\), đoạn \(BE\) và đoạn \(BG\) như hình vẽ (\(G\) thuộc \(\left( P \right)\)). Giả sử \(\left( P \right)\) là một nhánh của parabol có đỉnh \(S\) và hình chiếu của \(S\) trên mặt nền là \(H,E\) là chân của parabol (\(E\) thuộc \(\left( P \right)\) và mặt đáy) thì \(SH = 2EH\). Một mặt bên đường hầm có dạng mặt phẳng vuông góc với mặt đáy chứa đường thẳng \(AC\), gọi \(B\) là hình chiếu vuông góc của \(G\) xuống mặt phẳng đáy thì \(BE = BG\) và \(B\) thuộc đoạn \(AC\). Biết \(AC = 20{\rm{ }}m\), \(AF = 2CD = 10{\rm{ }}m\), tìm thể tích đường hầm trên và làm tròn đến hàng đơn vị của \({m^3}\).

a) Đúng.

Bán kính đáy bằng \(40\,m\) nên diện tích phần đáy dưới là \(S = \pi {.40^2} = 1600\pi  \approx 5027\,\left( {{m^2}} \right)\).

b) Sai.

Vì đoạn giao nhau giữa \(Ox\) là tháp bằng 30 mét, \(O\) là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm giao nhau đấy nên tọa độ các điểm thuộc hypebol là \(\left( { - 15;0} \right),\,\,\left( {15;0} \right)\).

c) Sai.

Phương trình chính tắc của hypebol có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).

Hypebol đi qua điểm \(\left( {15;0} \right)\) nên \(a = 15\). Khi đó \(\frac{{{x^2}}}{{{{15}^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).

Vì đáy dưới có bán kính bằng \(40\,m\), gốc \(O\) cách mặt đất \(80\,m\) nên hypebol đi qua điểm \(A\left( {40; - 80} \right)\). Thay tọa độ điểm \(A\) vào phương trình chính tắc trên ta có:

\(\frac{{{{40}^2}}}{{225}} - \frac{{{{\left( { - 80} \right)}^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow {b^2} = \frac{{11520}}{{11}}\).

Vậy \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{225}} - \frac{{{y^2}}}{{\frac{{11520}}{{11}}}} = 1\).

d) Đúng.

Ta có độ dài từ \(O\) đến nóc tháp là \(40\,m\).

Ta có \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{225}} - \frac{{{y^2}}}{{\frac{{11520}}{{11}}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{225}} = 1 + \frac{{11{y^2}}}{{11520}} \Rightarrow {x^2} = 225\left( {1 + \frac{{11{y^2}}}{{11520}}} \right)\).

Xét \(x = f\left( y \right)\).

Thể tích của tháp là thể tích khối tròn xoay (quay quanh trục \(Oy\)): \(V = \pi \int\limits_{ - 80}^{40} {{f^2}\left( y \right)} dy = \pi \int\limits_{ - 80}^{40} {225\left( {1 + \frac{{11{y^2}}}{{11520}}} \right)dy}  = 68250\pi  \approx 214414\,\left( {{m^3}} \right)\).

a) Chọn Đúng

Quỹ đạo chuyển động của tàu vũ trụ và tiểu hành tinh lần lượt là các đường thẳng \[{d_1}\], \[{d_2}\] có phương trình là \[{d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y =  - 3 - t}\\{z = 4 + 3t}\end{array}} \right.\] và \[{d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + t}\\{y =  - 4 + 2t}\\{z = 5 - t}\end{array}} \right.\].

Ta có: \[\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 1;1} \right)\], \[\left[ {\overrightarrow {{v_1}} ,\overrightarrow {{v_2}} } \right] = \left( { - 5;5;5} \right)\].

Do \[\overrightarrow {AB} .\left[ {\overrightarrow {{v_1}} ,\overrightarrow {{v_2}} } \right] = 2.\left( { - 5} \right) - 1.5 + 1.5 =  - 10 \ne 0\] nên hai đường thẳng \[{d_1}\] và \[{d_2}\] là hai đường thẳng chéo nhau.

b) Chọn sai

Ta có: \[\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{v_1}} .\overrightarrow {{v_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{v_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {2.1 - 1.2 + 3.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {21} }}{4}\]

Do đó \[\left( {{d_1},{d_2}} \right) \ne 60^\circ \].

c) Chọn Sai

Quỹ đạo chuyển động của tàu vũ trụ và tiểu hành tinh lần lượt là các đường thẳng \[{d_1}\], \[{d_2}\] có phương trình là \[{d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y =  - 3 - t}\\{z = 4 + 3t}\end{array}} \right.\] và \[{d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + t}\\{y =  - 4 + 2t}\\{z = 5 - t}\end{array}} \right.\].

Gọi \[A',B'\] lần lượt là vị trí của tàu vũ trụ và tiểu hành tinh tại thời điểm \[t = 10\] giây. Khi đó

\[A'\left( {21; - 13;34} \right),B'\left( {13;16; - 5} \right)\].

Vậy khoảng cách giữa chúng là

\[A'B' = \sqrt {{{\left( {13 - 21} \right)}^2} + {{\left( {16 + 13} \right)}^2} + {{\left( { - 5 - 34} \right)}^2}}  = \sqrt {2426}  \approx 49,25\,\,km\].

d) Chọn Sai

Khoảng cách bình phương giữa chúng tại thời điểm \(t\) bất kỳ là một hàm số:

\({d^2}\left( t \right) = {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} + {\left( {{y_2} - {y_1}} \right)^2} + {\left( {{z_2} - {z_1}} \right)^2}\)

\({d^2}\left( t \right) = {(2 - t)^2} + {( - 1 + 3t)^2} + {(1 - 4t)^2}\)

\({d^2}\left( t \right) = \left( {4 - 4t + {t^2}} \right) + \left( {1 - 6t + 9{t^2}} \right) + \left( {1 - 8t + 16{t^2}} \right)\)

\({d^2}(t) = 26{t^2} - 18t + 6n\)

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại \(t =  - \frac{b}{{2a}} = \frac{{18}}{{52}} = \frac{9}{{26}}\).

Thay \(t = \frac{9}{{26}}\) vào \({d^2}(t)\), ta được giá trị nhỏ nhất:\(26{\left( {\frac{9}{{26}}} \right)^2} - 18\left( {\frac{9}{{26}}} \right) + 6 = \frac{{75}}{{26}}\).

Nên khoảng cách ngắn nhất là \(\sqrt {\frac{{75}}{{26}}}  = \frac{{5\sqrt {78} }}{{26}}\).