Cho \(A = \frac{{4n}}{{n + 1}}\). Tìm giá trị của \(n\) để:

a) \(A\) là một phân số.

b)\(A\) là một số nguyên với \(n \in \mathbb{Z}\).

c) Với giá trị nào của số tự nhiên  thì có giá trị nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất đó bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

a) Để \(A\) là một phân số thì \(n + 1 \ne 0\), tức là \(n \ne - 1\).

b) Ta có: \(A = \frac{{4n}}{{n + 1}} = \frac{{4\left( {n + 1} \right) - 4}}{{n + 1}} = 4 - \frac{4}{{n + 1}}.\)    

Với \(n \in \mathbb{Z}\), để \[A \in \mathbb{Z}\] thì \[\frac{4}{{n + 1}} \in \mathbb{Z}.\]

Do đó \[4 \vdots n + 1\]

Suy ra \[n + 1 \in \]Ư\[\left( 4 \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,2;\,\, - 2;\,\,4;\,\, - 4} \right\}.\]

Ta có bảng sau:

Vậy \(n \in \left\{ { - 2;\,\,0;\,\,1;\,\, - 3;\,\,3;\,\, - 5} \right\}\) thì \(A \in \mathbb{Z}.\)

c) Cách 1. Ta có: \(A = \frac{{4n}}{{n + 1}} = 4 - \frac{4}{{n + 1}}.\)

Dễ thấy \(A\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(\frac{4}{{n + 1}}\) đạt giá trị dương lớn nhất.

\(\frac{4}{{n + 1}}\) đạt giá trị dương lớn nhất khi \(n + 1\) đạt giá trị dương nhỏ nhất.

\(n + 1\) đạt giá trị dương nhỏ nhất khi \(n = 0\).

Vậy giá trị lớn nhất của \(A = \frac{{4 \cdot 0}}{{0 + 1}} = 0\).

Dấu “=” xảy ra khi \(n = 0\).

Cách 2. Ta có: \(A = \frac{{4n}}{{n + 1}} = 4 - \frac{4}{{n + 1}}.\)

Do \(n\) là số tự nhiên nên \(n \ge 0\).

Suy ra \(n + 1 \ge 1,\) nên \(\frac{1}{{n + 1}} \le 1,\) do đó \(\frac{{ - 4}}{{n + 1}} \le - 4,\) vì vậy \(4 - \frac{4}{{n + 1}} \le 4 - 4\)

Khi đó \(A \le 0.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = 0\).

Dấu “=” xảy ra khi \(n = 0\).