Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}ax + 6y = 5\\5x + by = 4\end{array} \right.\) nhận cặp số \(\left( {2;\,\, - 1} \right)\) làm nghiệm. Tính tổng bình phương của \(a\) và \(b\).

Đáp số: \(\frac{{257}}{4}\).

Vì cặp số \(\left( {2;\,\, - 1} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình, ta thay \(x = 2\) và \(y = - 1\) vào hệ phương trình đã cho, ta được: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a \cdot 2 + 6 \cdot \left( { - 1} \right) = 5}\\{5 \cdot 2 + b \cdot \left( { - 1} \right) = 4}\end{array}} \right.\) hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2a - 6 = 5}\\{10 - b = 4}\end{array}} \right.\).

Giải hệ phương trình ta được: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2a = 11}\\{b = 6}\end{array}} \right.\) suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \frac{{11}}{2}}\\{b = 6}\end{array}} \right.\)

Tổng bình phương của \(a\) và \(b\) là: \({a^2} + {b^2} = {\left( {\frac{{11}}{2}} \right)^2} + {6^2} = \frac{{121}}{4} + 36 = \frac{{257}}{4}.\)