Một công nhân dự kiến làm \(60\) sản phẩm trong một ngày. Do cải tiến kỹ thuật, anh đã làm được \(80\) sản phẩm một ngày. Vì vậy, anh đã hoàn thành kế hoạch sớm \(2\) ngày và còn làm thêm được \(40\) sản phẩm nữa. Tính số sản phẩm anh công nhân phải làm theo kế hoạch.

a) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + y = 0\,\,\,\,\,\left( {1a} \right)}\\{x + 2y = 5\,\,\,\,\,\left( {2a} \right)}\end{array}} \right.\)

Từ phương trình (1a), ta có \(y = - 3x.\,\,\,\left( {3a} \right)\)

Thế \(y = - 3x\) vào phương trình (2a), ta được:

\(x + 2 \cdot \left( { - 3x} \right) = 5\) hay \( - 5x = 5\) nên \(x = - 1\).

Thay \(x = - 1\) vào phương trình (3a), ta được: \(y = - 3 \cdot \left( { - 1} \right) = 3.\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( { - 1;\,\,3} \right)\).

b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 5y = 21\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {1b} \right)}\\{ - 6x + 3y = - 45\,\,\,\left( {2b} \right)}\end{array}} \right.\)

Từ phương trình (2a), ta có: \(x = 5y + 21.\,\,\,\left( {3b} \right)\)

Thế \(x = 5y + 21\) vào phương trình (2b), ta được:

\( - 6\left( {5y + 21} \right) + 3y = - 45\) hay \( - 30y - 126 + 3y = - 45\), suy ra \( - 27y = 81\) nên \(y = - 3\).

Thay \(y = - 3\) vào phương trình (3b), ta được:

\(x = 5 \cdot \left( { - 3} \right) + 21 = - 15 + 21 = 6.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {6; - 3} \right)\).

c) \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 4x + 5y = 8\,\,\,\,\left( {1c} \right)}\\{2x - y = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {2c} \right)}\end{array}} \right.\]

Từ phương trình (2c), ta có: \(y = 2x - 2.\,\,\,\left( {3c} \right)\)

Thế \(y = 2x - 2\) vào phương trình (1c), ta được:

\( - 4x + 5\left( {2x - 2} \right) = 8\) hay \( - 4x + 10x - 10 = 8\), suy ra \(6x = 18\) nên \(x = 3\).

Thay \(x = 3\) vào phương trình (3c), ta được:

\(y = 2 \cdot 3 - 2 = 4\).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {3;4} \right)\).

 d) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + 4y = - 6\,\,\,\,\,\left( {1d} \right)}\\{x - 4y = 14\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {2d} \right)}\end{array}} \right.\)

Từ phương trình (2d), ta có: \(x = 4y + 14.\,\,\,\,\left( {3d} \right)\)

Thế \(x = 4y + 14\) vào phương trình (1d), ta được:

\(3\left( {4y + 14} \right) + 4y = - 6\) hay \(12y + 42 + 4y = - 6\), suy ra \(16y = - 48\) nên \(y = - 3\).

Thay \(y = - 3\) vào phương trình (3d), ta được:

\(x = 4 \cdot \left( { - 3} \right) + 14 = - 12 + 14 = 2.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {2; - 3} \right)\).

a) \(\left\{ \begin{array}{l}x - 5y = 16\\ - x + 3y = - 10\end{array} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được: \( - 2y = 6\). Suy ra \(y = - 3\).

Thay \(y = - 3\) vào phương trình \( - x + 3y = - 10\), ta được:

\( - x + 3 \cdot \left( { - 3} \right) = - 10\) hay \( - x - 9 = - 10,\) do đó \(x = 1\).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {1; - 3} \right).\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l} - x + 3y = - 10\\2x + 3y = - 1\end{array} \right.\)       

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ, ta được:

\( - 3x = - 9\). Suy ra \(x = 3\).

Thay \(x = 3\) vào phương trình \(2x + 3y = - 1\), ta được:

\(2 \cdot 3 + 3y = - 1\) hay \(6 + 3y = - 1\), suy ra \(3y = - 7\), do đó \(y = \frac{{ - 7}}{3}\).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {3;\,\,\frac{{ - 7}}{3}} \right).\)

c) \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\4x + 3y = 2\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 4, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}4x + 4y = 0\\4x + 3y = 2.\end{array} \right.\)

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ, ta được:

\(y = - 2.\)

Thay \(y = - 2\) vào phương trình \(x + y = 0,\) ta được:

\(x + \left( { - 2} \right) = 0,\) do đó \(x = 2\).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {2;\,\, - 2} \right).\)

d) \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = - 2\\ - 6x + 4y = 4.\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 2, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}6x - 4y = - 4\\ - 6x + 4y = 4.\end{array} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được: \(0x + 0y = 0\) hay \(0x = 0.\)

Phương trình trên vô số nghiệm \(x \in \mathbb{R}.\)

Từ phương trình \(3x - 2y = - 2,\) ta có \(2y = 3x + 2\) hay \(y = \frac{3}{2}x + 1.\)

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm, nghiệm tổng quát của hệ phương trình là: \(\left( {x;\,\,\frac{3}{2}x + 1} \right)\) với \(x \in \mathbb{R}\) tùy ý.

e) \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 6y = 5\\x - 3y = 2.\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình thứ hai với 2, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 6y = 5\\2x - 6y = 4.\end{array} \right.\)

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ, ta được:

\(0x + 0y = 1\) hay \(0x = 1\).

Phương trình trên vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

f) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{2}x + \frac{9}{4}y = \frac{1}{2}}\\{\frac{2}{3}x - \frac{3}{4}y = - 1}\end{array}} \right.\)         

Nhân hai vế của phương trình thứ hai với 3, ta được :\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{2}x + \frac{9}{4}y = \frac{1}{2}}\\{2x - \frac{9}{4}y = - 3.}\end{array}} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được:

\(\frac{5}{2}x = - \frac{5}{2}.\) Suy ra \(x = - 1.\)

Thay \(x = - 1\) vào phương trình\(\frac{1}{2}x + \frac{9}{4}y = \frac{1}{2}\), ta được :

\(\frac{1}{2} \cdot \left( { - 1} \right) + \frac{9}{4}y = \frac{1}{2}\) hay \( - \frac{1}{2} + \frac{9}{4}y = \frac{1}{2},\) suy ra \(\frac{9}{4}y = 1,\) do đó \(y = \frac{4}{9}.\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(\left( { - 1;\,\,\frac{4}{9}} \right).\)