Câu hỏi:

07/04/2026 6

Cho tam giác \(ABC\) nhọn có ba đường cao \(AM,\,\,BN,\,\,CL\). Chứng minh:

\(AN \cdot BL \cdot CM = AB \cdot BC \cdot CA \cdot \cos A \cdot \cos B \cdot \cos C\).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 9 Chân trời sáng tạo có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tam giác ABC nhọn có ba đường cao AM,BN,CL. Chứng minh: (ảnh 1)

Xét \(\Delta ABN\) vuông tại \(N\) có:

\(AN = AB \cdot \cos A\) (1)

Xét \(\Delta BCL\) vuông tại \(L\) có:

\(BL = BC \cdot \cos B\) (2)

Xét \(\Delta ACM\) vuông tại \(M\) có:

\(CM = AC \cdot \cos C\) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:

\(AN \cdot BL \cdot CM = AB \cdot BC \cdot CA \cdot \cos A \cdot \cos B \cdot \cos C\)

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Rút gọn các biểu thức sau:

a) \(A = \sin 23^\circ - \cos 67^\circ .\) b) \(B = \tan 18^\circ - \cot 72^\circ .\)

c) \(C = \frac{{\sin 60^\circ \cdot \cos 30^\circ }}{{2\cot 45^\circ }}.\) d) \(D = \cot 44^\circ \cdot \cot 45^\circ \cdot \cot 46^\circ .\)

e) \(E = \sin 10^\circ + \sin 40^\circ - \cos 50^\circ - \cos 80^\circ \).

f) \(F = 12 \cdot \tan 32^\circ \cdot \tan 58^\circ - \frac{{8 \cdot \cot 35^\circ }}{{\tan 55^\circ }}.\)

Xem đáp án

Lời giải

a) \(A = \sin 23^\circ - \cos 67^\circ = \sin 23^\circ - \sin 23^\circ = 1 - 1 = 0.\)

b) \(B = \tan 18^\circ - \cot 72^\circ = \tan 18^\circ - \tan 18^\circ = 1 - 1 = 0.\)

c) \(C = \frac{{\sin 60^\circ \cdot \cos 30^\circ }}{{2\cot 45^\circ }} = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{2 \cdot 1}} = \frac{{\frac{3}{4}}}{2} = \frac{3}{8}.\)

d) \(D = \cot 44^\circ \cdot \cot 45^\circ \cdot \cot 46^\circ = \cot 44^\circ \cdot \cot 45^\circ \cdot \tan 44^\circ \)

\( = \left( {\cot 44^\circ \cdot \tan 44^\circ } \right) \cdot \cot 45^\circ = 1 \cdot \cot 45^\circ = 1 \cdot 1 = 1.\)

e) \(E = \sin 10^\circ + \sin 40^\circ - \cos 50^\circ - \cos 80^\circ \)

\( = \sin 10^\circ + \sin 40^\circ - \sin 40^\circ - \sin 10^\circ \)

\( = \left( {\sin 10^\circ - \sin 10^\circ } \right) + \left( {\sin 40^\circ - \sin 40^\circ } \right) = 0\).

f) \(F = 12 \cdot \tan 32^\circ \cdot \tan 58^\circ - \frac{{8 \cdot \cot 35^\circ }}{{\tan 55^\circ }}.\)

\( = 12 \cdot \tan 32^\circ \cdot \cot 32^\circ - \frac{{8 \cdot \cot 35^\circ }}{{\cot 35^\circ }} = 12 \cdot 1 - 8 = 4.\)

Câu 2

Giải các phương trình sau:

a) \(9{x^2}\left( {2x - 3} \right) = 0\).   b) \(\left( {x - 1} \right)\left( {3x - 6} \right) = 0\).

c) \(\left( {x + 2} \right)\left( {3 - 3x} \right) = 0\). d) \(\left( {\frac{2}{3}x + 6} \right)\left( {8 - 2x} \right) = 0\).

e) \(\left( {4x + 2} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = 0\). f) \(\left( {3x - 4} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {2x - 1} \right) = 0\).

g) \({\left( {3x - 2} \right)^2}\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\).                                                               h) \({\left( {2x + 3} \right)^2} = {\left( {x - 5} \right)^2}\).

i) \(\left( {6x - 7} \right)\left( {3x + 4} \right) = \left( {7 - 6x} \right)\left( {x - 1} \right)\).                                      j) \(\left( {3x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) = {x^2} - 1\).

k) \( - 5\left( {4x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 2{\left( {4x - 1} \right)^2}\).                                            l) \({x^2} - 8x + 12 = 0\).

Xem đáp án

Lời giải

a) \(9{x^2}\left( {2x - 3} \right) = 0\)

\(9{x^2} = 0\) hoặc \(2x - 3 = 0\)

\({x^2} = 0\) hoặc \(2x = 3\)

\(x = 0\) hoặc \(x = \frac{3}{2}\).

Vậy phương trình đã cho có hai nghệm là \(x = 0;\) \(x = \frac{3}{2}\).

c) \(\left( {x + 2} \right)\left( {3 - 3x} \right) = 0\)

\(x + 2 = 0\) hoặc \(3 - 3x = 0\)

\(x = - 2\) hoặc \(3x = 3\)

\(x = - 2\) hoặc \(x = 1\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghệm là \(x = - 2;\) \(x = 1\).

e) \(\left( {4x + 2} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = 0\)

\(4x + 2 = 0\) (vì \({x^2} + 1 > 0\) với \(x \in \mathbb{R}\) tùy ý)

\(4x = - 2\)

\(x = \frac{{ - 1}}{2}\)

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là \(x = \frac{{ - 1}}{2}\).

g) \({\left( {3x - 2} \right)^2}\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\)

\({\left( {3x - 2} \right)^2} = 0\) hoặc \(x + 1 = 0\) hoặc \(x - 2 = 0\)

\(3x - 2 = 0\) hoặc \(x + 1 = 0\) hoặc \(x - 2 = 0\)

\(3x = 2\) hoặc \(x = - 1\) hoặc \(x = 2\)

\(x = \frac{2}{3}\) hoặc \(x = - 1\) hoặc \(x = 2\)

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là \(x = \frac{2}{3}\); \(x = - 1\) và \(x = 2\).

i) \(\left( {6x - 7} \right)\left( {3x + 4} \right) = \left( {7 - 6x} \right)\left( {x - 1} \right)\)

\(\left( {6x - 7} \right)\left( {3x + 4} \right) - \left( {7 - 6x} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\)

\(\left( {6x - 7} \right)\left( {3x + 4} \right) + \left( {6x - 7} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\)

\(\left( {6x - 7} \right)\left[ {\left( {3x + 4} \right) + \left( {x - 1} \right)} \right] = 0\)

\(\left( {6x - 7} \right)\left( {4x + 3} \right) = 0\)

\(6x - 7 = 0\) hoặc \(4x + 3 = 0\)

\(x = \frac{7}{6}\) hoặc \(x = \frac{{ - 3}}{4}\).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = \frac{7}{6};\) \(x = \frac{{ - 3}}{4}\).

k) \( - 5\left( {4x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 2{\left( {4x - 1} \right)^2}\)

\( - 5\left( {4x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) - 2{\left( {4x - 1} \right)^2} = 0\)

\(\left( {4x - 1} \right)\left[ { - 5\left( {x - 2} \right) - 2\left( {4x - 1} \right)} \right] = 0\)

\(\left( {4x - 1} \right)\left[ { - 5x + 10 - 8x + 2} \right] = 0\)

\(\left( {4x - 1} \right)\left( { - 13x + 12} \right) = 0\)

\(4x - 1 = 0\) hoặc \( - 13x + 12 = 0\)

\(x = \frac{1}{4}\) hoặc \(x = \frac{{12}}{{13}}\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = \frac{1}{4};\) \(x = \frac{{12}}{{13}}\).

b) \(\left( {x - 1} \right)\left( {3x - 6} \right) = 0\)

\(x - 1 = 0\) hoặc \(3x - 6 = 0\)

\(x = 1\) hoặc \(3x = 6\)

\(x = 1\) hoặc \(x = 2\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghệm là \(x = 1;\) \(x = 2\).

d) \(\left( {\frac{2}{3}x + 6} \right)\left( {8 - 2x} \right) = 0\)

\(\frac{2}{3}x + 6 = 0\) hoặc \(8 - 2x = 0\)

\(\frac{2}{3}x = - 6\) hoặc \(2x = 8\)

\(x = - 9\) hoặc \(x = 4\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = - 9;\) \(x = 4\).

f) \(\left( {3x - 4} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {2x - 1} \right) = 0\)

\(3x - 4 = 0\) hoặc \(x + 1 = 0\) hoặc \(2x - 1 = 0\)

\(3x = 4\) hoặc \(x = - 1\) hoặc \(2x = 1\)

\(x = \frac{4}{3}\) hoặc \(x = - 1\) hoặc \(x = \frac{1}{2}\)

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là \(x = \frac{4}{3}\); \(x = - 1\) và \(x = \frac{1}{2}\).

h) \({\left( {2x + 3} \right)^2} = {\left( {x - 5} \right)^2}\)

\({\left( {2x + 3} \right)^2} - {\left( {x - 5} \right)^2} = 0\)

\(\left( {2x + 3 - x + 5} \right){\left( {2x + 3 + x - 5} \right)^2} = 0\)

\(\left( {x + 8} \right)\left( {3x - 2} \right) = 0\)

\(x + 8 = 0\) hoặc \(3x - 2 = 0\)

\(x = - 8\) hoặc \(x = \frac{2}{3}\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = - 8;\;x = \frac{2}{3}.\)

j) \(\left( {3x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) = {x^2} - 1\)

\(\left( {3x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\)

\(\left( {x + 1} \right)\left[ {\left( {3x - 2} \right) - \left( {x - 1} \right)} \right] = 0\)

\(\left( {x + 1} \right)\left( {2x - 1} \right) = 0\)

\(x + 1 = 0\) hoặc \(2x - 1 = 0\)

\(x = - 1\) hoặc \(x = \frac{1}{2}\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = - 1;\) \(x = \frac{1}{2}\).

l) \({x^2} - 8x + 12 = 0\)

\({x^2} - 2x - 6x + 12 = 0\)

\(x\left( {x - 2} \right) - 6\left( {x - 2} \right) = 0\)

\(\left( {x - 2} \right)\left( {x - 6} \right) = 0\)

\(x - 2 = 0\) hoặc \(x - 6 = 0\)

\(x = 2\) hoặc \(x = 6\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = 2;\,\,x = 6.\)

Câu 3