Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 9 Cánh diều có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\) ta có:
⦁ \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\) (định lí Pythagore);
⦁ \[\widehat {A\,} + \widehat {B\,} + \widehat {C\,} = 180^\circ \] (tổng ba góc của một tam giác).
a) Ta có \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25,\) suy ra \(BC = 5\).
\(\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{4}{5},\) suy ra \(\widehat {B\,} \approx 53^\circ 8'.\)
Suy ra \[\widehat {C\,} = 180^\circ - \widehat {A\,} - \widehat {B\,} \approx 180^\circ - 90^\circ - 53^\circ 8' = 36^\circ 52'.\]
Vậy \(AB = 3,\,\,AC = 4,\,\,BC = 5;\,\,\widehat {A\,\,} = 90^\circ ,\,\,\widehat {B\,} \approx 53^\circ 8',\,\,\widehat {C\,} \approx 36^\circ 52'.\)
b) Ta có \(A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {11^2} - {6^2} = 85,\) suy ra \(AC = \sqrt {85} \approx 9,22.\)
\(\cos B = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{6}{{11}},\) suy ra \(\widehat {C\,} \approx 56^\circ 57'.\)
Suy ra \[\widehat {B\,} = 180^\circ - \widehat {A\,} - \widehat {C\,} \approx 180^\circ - 90^\circ - 56^\circ 57' = 33^\circ 3'.\]
Vậy \[AB = 6,\,\,AC \approx 9,22,\,\,BC = 11;\,\,\widehat {A\,\,} = 90^\circ ,\,\,\widehat {B\,} \approx 56^\circ 57',\,\,\widehat {C\,} \approx 33^\circ 3'.\]
c) Ta có \(\sin C = \frac{{AB}}{{BC}},\) suy ra \(BC = \frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{9}{{\sin 32^\circ }} \approx 16,98.\)
\(AC = AB \cdot \cot C = 9 \cdot \cot 32^\circ \approx 14,40.\)
\[\widehat {B\,} = 180^\circ - \widehat {A\,} - \widehat {C\,} = 180^\circ - 90^\circ - 32^\circ = 58^\circ .\]
Vậy \[AB = 9,\,\,AC \approx 14,40,\,\,BC \approx 16,98;\,\,\widehat {A\,\,} = 90^\circ ,\,\,\widehat {B\,} = 58^\circ ,\,\,\widehat {C\,} = 32^\circ .\]
d) Ta có \(AB = BC \cdot \sin C = 12 \cdot \sin 37^\circ \approx 7,22.\)
\(AC = BC \cdot \cos C = 12 \cdot \cos 37^\circ \approx 9,58.\)
\[\widehat {B\,} = 180^\circ - \widehat {A\,} - \widehat {C\,} = 180^\circ - 90^\circ - 37^\circ = 53^\circ .\]
Vậy \[AB \approx 7,22,\,\,AC \approx 9,58,\,\,BC = 12;\,\,\widehat {A\,\,} = 90^\circ ,\,\,\widehat {B\,} = 53^\circ ,\,\,\widehat {C\,} = 37^\circ .\]
e) Ta có: \(AB = AC \cdot \tan C = 4 \cdot \tan 40^\circ \approx 3,36.\)
\(AC = BC \cdot \cos C,\) suy ra \(BC = \frac{{AC}}{{\cos C}} = \frac{4}{{\cos 40^\circ }} \approx 5,22\).
\[\widehat {B\,} = 180^\circ - \widehat {A\,} - \widehat {C\,} = 180^\circ - 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ .\]
Vậy \[AB \approx 3,36,\,\,AC = 4,\,\,BC \approx 5,22;\,\,\widehat {A\,\,} = 90^\circ ,\,\,\widehat {B\,} = 50^\circ ,\,\,\widehat {C\,} = 40^\circ .\]
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Ta có: \[3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\]
\[ = {a^3} + a{b^2} + a{c^2} + {a^2}b + {b^3} + b{c^2} + {a^2}c + {b^2}c + {c^3}\]
\[ = \left( {{a^3} + a{b^2}} \right) + \left( {{b^3} + b{c^2}} \right) + \left( {{c^3} + c{a^2}} \right) + {a^2}b + {b^2}c + {c^2}a\].
Mà \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\) với mọi số thực dương \(a,\,\,b\) nên \[{a^2} + {b^2} \ge 2ab.\]
Suy ra \[{a^3} + a{b^2} \ge 2{a^2}b.\]
Tương tự, ta có: \[{b^3} + b{c^2} \ge 2{b^2}c;\] \[{c^3} + c{a^2} \ge 2{c^2}a.\]
Suy ra \[3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 3\left( {{a^2}b + {b^2}c + {c^2}a} \right) > 0\]
\[{a^2} + {b^2} + {c^2} \ge {a^2}b + {b^2}c + {c^2}a > 0\].
Mặt khác, \({\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca\)
Hay \({a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca = {3^2} = 9\)
\(2ab + 2bc + 2ca = 9 - \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)
Do đó \[P = {a^2} + {b^2} + {c^2} + \frac{{ab + bc + ca}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\]
\[ = {a^2} + {b^2} + {c^2} + \frac{{9 - \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}\]
\[ = {a^2} + {b^2} + {c^2} + \frac{9}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}} - \frac{1}{2}\].
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz với mọi số thực dương \(a,\,\,b,\,\,c\) ta có:
\({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{3} = \frac{{{3^2}}}{3} = 3.\)
Do đó \[P = {a^2} + {b^2} + {c^2} + \frac{9}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}} - \frac{1}{2}\]
\[ = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{2} + \frac{9}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}} + \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{1}{2}\]
\[ \ge 2\sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{2} \cdot \frac{9}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}} + \frac{3}{2} - \frac{1}{2}\]
\[ = 2\sqrt {\frac{9}{4}} + \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{3}{2} + \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 4.\]
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = 1.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(4\) khi \(a = b = c = 1.\)
Lời giải
a) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{x} - \frac{1}{y} = 7\\\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 8\end{array} \right.\) (Điều kiện \(x \ne 0;y \ne 0)\)
Đặt \(\frac{1}{x} = a;\,\,\frac{1}{y} = b\), khi đó hệ phương trình đã cho trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}3a - b = 7\\2a + b = 8.\end{array} \right.\)
Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được:
\(5a = 15,\) suy ra \(a = 3\).
Thay \(a = 3\) vào phương trình \(2a + b = 8,\) ta được:
\(2 \cdot 3 + b = 8,\) suy ra \(b = 2\).
Với \(a = 3\) ta có \(\frac{1}{x} = 3,\) suy ra \(x = \frac{1}{3}\) (thỏa mãn điều kiện);
Với \(b = 2\) ta có \(\frac{1}{y} = 2,\) suy ra \(y = \frac{1}{2}\) (thỏa mãn điều kiện).
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {\frac{1}{3};\,\,\frac{1}{2}} \right)\).
b) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{x} - \frac{4}{y} = 2\\\frac{4}{x} - \frac{5}{y} = 3\end{array} \right.\) (Điều kiện \(x \ne 0;y \ne 0).\)
Đặt \(\frac{1}{x} = a;\,\,\frac{1}{y} = b\), khi đó hệ phương trình đã cho trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}3a - 4b = 2\\4a - 5b = 3.\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ trên với \(4\) và nhân hai vế của phương trình thứ hai của hệ trên với 3, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}12a - 16b = 8\\12a - 15b = 9.\end{array} \right.\)
Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:
\( - b = - 1,\) suy ra \(b = 1.\)
Thay \(b = 1\) vào phương trình \(3a - 4b = 2,\) ta được:
\(3a - 4 \cdot 1 = 2,\) hay \(3a = 6,\) suy ra \(a = 2.\)
Với \(a = 2\) ta có \(\frac{1}{x} = 2,\) suy ra \(x = \frac{1}{2}\) (thỏa mãn điều kiện);
Với \(b = 1\) ta có \(\frac{1}{y} = 1,\) suy ra \(y = 1\) (thỏa mãn điều kiện).
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {\frac{1}{2};\,\,1} \right)\).
c) \[\left\{ \begin{array}{l}12x + 3y = 4xy\\\frac{9}{x} - \frac{8}{y} = 1\end{array} \right.\] (Điều kiện \(x \ne 0;y \ne 0).\)
Chia hai vế của phương trình thứ nhất của hệ đã cho cho \(xy\) (do \(xy \ne 0)\), ta được:
\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{12}}{y} + \frac{3}{x} = 4\\\frac{9}{x} - \frac{8}{y} = 1\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{x} + \frac{{12}}{y} = 4\\\frac{9}{x} - \frac{8}{y} = 1\end{array} \right.\]
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ trên với 3, ta được:
\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{9}{x} + \frac{{36}}{y} = 12\\\frac{9}{x} - \frac{8}{y} = 1\end{array} \right.\]
Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:
\(\frac{{44}}{y} = 11,\) suy ra \(y = 4\) (thỏa mãn điều kiện).
Thay \(y = 4\) vào phương trình \[\frac{9}{x} - \frac{8}{y} = 1\], ta được:
\[\frac{9}{x} - \frac{8}{4} = 1\] hay \[\frac{9}{x} - 2 = 1,\] do đó \(\frac{9}{x} = 3\) nên \(x = 3\) (thỏa mãn điều kiện).
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {3;\,\,4} \right)\).
d) \[\left\{ \begin{array}{l}2\left( {x + y} \right) + 3\left( {x - y} \right) = 4\\\left( {x + y} \right) + 2\left( {x - y} \right) = 5\end{array} \right.\]
Cách 1. Đặt \(a = x + y\) và \(b = x - y\), hệ phương trình đã cho trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}2a + 3b = 4\\a + 2b = 5.\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ hai của hệ trên với 2, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}2a + 3b = 4\\2a + 4b = 10.\end{array} \right.\)
Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:
\( - b = - 6,\) suy ra \(b = 6.\)
Thay \(b = 6\) vào phương trình \(a + 2b = 5,\) ta được:
\(a + 2 \cdot 6 = 5,\) suy ra \(a = - 7.\)
Với \(a = - 7,\,\,b = 6\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = - 7\\x - y = 6.\end{array} \right.\)
Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được:
\(2x = - 1\), suy ra \(x = - \frac{1}{2}\).
Thay \(x = - \frac{1}{2}\) vào phương trình \(x - y = 6,\) ta được:
\( - \frac{1}{2} - y = 6,\) suy ra \(y = - \frac{{13}}{2}.\)
Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất là \(\left( {x;y} \right) = \left( { - \frac{1}{2}; - \frac{{13}}{2}} \right)\).
Cách 2. \[\left\{ \begin{array}{l}2\left( {x + y} \right) + 3\left( {x - y} \right) = 4\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\left( {x + y} \right) + 2\left( {x - y} \right) = 5\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\]
Từ phương trình (1), ta có: \[2x + 2y + 3x - 3y = 4\] hay \(5x - y = 4.\) (3)
Từ phương trình (2), ta có: \(x + y + 2x - 2y = 5\) hay \(3x - y = 5.\) (4)
Từ (3) và (4) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}5x - y = 4\\3x - y = 5.\end{array} \right.\)
Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:
\(2x = - 1,\) suy ra \(x = - \frac{1}{2}.\)
Thay \(x = - \frac{1}{2}\) vào phương trình \(5x - y = 4,\) ta được:
\(5 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) - y = 4,\) hay \( - \frac{5}{2} - y = 4,\) suy ra \(y = - \frac{{13}}{2}.\)
Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất là \(\left( {x;y} \right) = \left( { - \frac{1}{2}; - \frac{{13}}{2}} \right)\).
e) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{{2x - y}} - \frac{6}{{x + y}} = - 1\\\frac{1}{{2x - y}} - \frac{1}{{x + y}} = 0\end{array} \right.\) (Điều kiện xác định: \(y \ne 2x;\,\,y \ne - x).\)
Đặt \(\frac{1}{{2x - y}} = u;\,\,\frac{1}{{x + y}} = v\), hệ phương trình đã cho trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}3u - 6v = - 1\\u - v = 0.\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ hai của hệ trên với 3, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}3u - 6v = - 1\\3u - 3v = 0.\end{array} \right.\)
Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:
\( - 3v = - 1\), suy ra \[v = \frac{1}{3}\].
Thay \[v = \frac{1}{3}\] vào phương trình \(u - v = 0,\) ta được: \(u - \frac{1}{3} = 0,\) suy ra \(u = \frac{1}{3}\).
Với \(u = \frac{1}{3}\) và \[v = \frac{1}{3}\], ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{2x - y}} = \frac{1}{3}\,\,\,\,\left( 5 \right)\\\frac{1}{{x + y}} = \frac{1}{3}\,\,\,\,\,\,\,\left( 6 \right)\end{array} \right.\)
Từ phương trình (5) ta có: \(2x - y = 3.\,\,\,\,\left( 7 \right)\)
Từ phương trình (6) ta có: \(x + y = 3.\,\,\,\,\left( 8 \right)\)
Từ (7) và (8) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 3\\x + y = 3\end{array} \right.\)
Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được:
\(3x = 6\) hay \(x = 2\).
Thay \(x = 2\) vào phương trình \(x + y = 3,\) ta được: \(2 + y = 3\), suy ra \(y = 1\) (thỏa mãn).
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {2;1} \right)\).
f) \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{5x}}{{x + 1}} + \frac{y}{{y - 3}} = 27\\\frac{{2x}}{{x + 1}} - \frac{{3y}}{{y - 3}} = 4\end{array} \right.\] (Điều kiện xác định: \[x \ne - 1;y \ne 3).\]
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ phương trình đã cho với \[3\], ta được:
\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{15x}}{{x + 1}} + \frac{{3y}}{{y - 3}} = 81\\\frac{{2x}}{{x + 1}} - \frac{{3y}}{{y - 3}} = 4.\end{array} \right.\]
Cộng từng vế hai phương trình của hệ trên, ta nhận được phương trình:
\[\frac{{17x}}{{x + 1}} = 85\]
\[\frac{x}{{x + 1}} = 5\]
\[5\left( {x + 1} \right) = x\]
\[5x + 5 = x\]
\[4x = - 5\]
\[x = \frac{{ - 5}}{4}\] (thỏa mãn).
Thế \[\frac{x}{{x + 1}} = 5\] vào phương trình \[\frac{{5x}}{{x + 1}} + \frac{y}{{y - 3}} = 27\], ta được:
\[5 \cdot 5 + \frac{y}{{y - 3}} = 27\]
\[\frac{y}{{y - 3}} = 2\]
\[2\left( {y - 3} \right) = y\]
\[2y - 6 = y\]
\[y = 6\] (thỏa mãn).
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \[\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{ - 5}}{4};6} \right).\]
Chú ý: Ta cũng có thể sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải hệ phương trình trên.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] có \[AB = 9{\rm{\;cm}},\,\,\widehat {C\,} = 30^\circ \].
a) Giải tam giác \[ABC\].
b) Kẻ đường cao \[AH\] của tam giác \[ABC\] \(\left( {H \in BC} \right)\). Tính \[AH,\,\,CH\].
c) Kẻ \[AD\] là tia phân giác của \[\widehat {BAC}\] \(\left( {D \in BC} \right)\). Tính \[AD\] (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập