Câu hỏi:

09/04/2026 302

Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] có \[AB = 9{\rm{\;cm}},\,\,\widehat {C\,} = 30^\circ \].

a) Giải tam giác \[ABC\].

b) Kẻ đường cao \[AH\] của tam giác \[ABC\] \(\left( {H \in BC} \right)\). Tính \[AH,\,\,CH\].

c) Kẻ \[AD\] là tia phân giác của \[\widehat {BAC}\] \(\left( {D \in BC} \right)\). Tính \[AD\] (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 9 Cánh diều có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Xét \[\Delta ABC\] vuông tại \[A\], ta có:

⦁ \[\widehat {B\,} + \widehat {C\,} = 90^\circ \]. Suy ra \[\widehat B = 90^\circ - \widehat {C\,} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ .\]

⦁ \[\sin C = \frac{{AB}}{{BC}}\] hay \[\sin 30^\circ = \frac{9}{{BC}},\] suy ra \[BC = 18{\rm{\;cm}}\].

⦁ \[A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\] (định lí Pythagore)

Suy ra \[A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {18^2} - {9^2} = 243,\] do đó \(AC = \sqrt {243} = 9\sqrt 3 {\rm{\;cm}}.\)

b) Xét \[\Delta ABH\] vuông tại \[H\], ta có:

\(AH = AB \cdot \sin B = 9 \cdot \sin 60^\circ = \frac{{9\sqrt 3 }}{2}{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Xét \(\Delta ACH\) vuông tại \(H\), ta có:

\[CH = AC \cdot \cos C = 9\sqrt 3 \cdot \cos 30^\circ = 13,5{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\]

c) Xét \[\Delta ABC\] có \[AD\] là tia phân giác của \[\widehat {BAC}\] nên ta có:

\[\frac{{DC}}{{DB}} = \frac{{AC}}{{AB}},\] hay \[\frac{{DC}}{{DB}} = \frac{{9\sqrt 3 }}{9} = \frac{{\sqrt 3 }}{1},\] suy ra \[DC = DB\sqrt 3 \].

Mà \[DC + DB = BC = 18\]

Suy ra \[DB\sqrt 3 + DB = 18\], hay \[DB\left( {\sqrt 3 + 1} \right) = 18\]

Do đó \[DB = \frac{{18}}{{\sqrt 3 + 1}} \approx 6,59{\rm{\;cm}}\] và \[DC = DB\sqrt 3 \approx 6,59 \cdot \sqrt 3 \approx 11,41\] (cm).

Lại có \(CH = CD + DH\) nên \(DH = CH - CD \approx 13,5 - 11,41 = 2,09{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)

Xét \[\Delta ADH\] vuông tại \[H\], theo định lí Pythagore, ta có:

\[A{D^2} = D{H^2} + A{H^2} \approx 2,{09^2} + {\left( {\frac{{9\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = 65,1181\]

Suy ra \[AD \approx \sqrt {65,1181} \approx 8,07{\rm{\;cm}}\].

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Giải các phương trình sau:

a) \(\frac{1}{x} + \frac{1}{{2x}} = \frac{3}{2}\).

b) \(\frac{{{x^2} - 6}}{x} = x + \frac{3}{2}\).

c) \[\frac{{3x}}{{4x - 3}} = - 2\].

d) \(\frac{3}{{8x}} - \frac{1}{{2x}} = \frac{1}{{{x^2}}}\).

e) \(\frac{x}{{x - 2}} = \frac{2}{{x - 2}} + 7\).

f) \(\frac{2}{{x - 3}} = \frac{1}{{x + 2}}\).

g) \(\frac{{3x - 2}}{{x + 7}} = \frac{{6x + 1}}{{2x - 3}}\).

h) \(\frac{{2x + 1}}{{x + 1}} + \frac{2}{x} = \frac{2}{{x\left( {x + 1} \right)}}\).

i) \(\frac{{x + 3}}{{x - 3}} = \frac{3}{{{x^2} - 3x}} + \frac{1}{x}\).

j) \(\frac{1}{x} - \frac{{x + 4}}{{x - 4}} = \frac{4}{{4x - {x^2}}}\).

k) \(\frac{{x + 2}}{{x - 2}} - \frac{{x - 2}}{{2 + x}} = \frac{{{x^2} + 16}}{{{x^2} - 4}}\).

l) \(\frac{{2x - 5}}{{x + 4}} + \frac{x}{{4 - x}} = \frac{{ - 17x + 56}}{{{x^2} - 16}}\).

Xem đáp án

Lời giải

a) Điều kiện xác định: \(x \ne 0\).

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{{2x}} = \frac{3}{2}\)

\(\left( {1 + \frac{1}{2}} \right)\frac{1}{x} = \frac{3}{2}\)

\(\frac{3}{2}.\frac{1}{x} = \frac{3}{2}\)

\(\frac{1}{x} = 1\)

\(x = 1\) (thỏa mãn).

Vậy nghiệm phương trình đã cho là \[x = 1\].

c) Điều kiện xác định: \[x \ne \frac{3}{4}\].

\[\frac{{3x}}{{4x - 3}} = - 2\]

\[\frac{{3x}}{{4x - 3}} = \frac{{ - 2\left( {4x - 3} \right)}}{{4x - 3}}\]

\[3x = - 2\left( {4x - 3} \right)\]

\[3x = - 8x + 6\]

\[3x + 8x = 6\]

\[11x = 6\]

\[x = \frac{6}{{11}}\] (thỏa mãn).

Vậy nghiệm phương trình đã cho là \[x = \frac{6}{{11}}.\]

e) Điều kiện xác định: \[x \ne 2\].

\(\frac{x}{{x - 2}} = \frac{2}{{x - 2}} + 7\)

\[\frac{x}{{x - 2}} = \frac{{2 + 7\left( {x - 2} \right)}}{{x - 2}}\]

\(x = 2 + 7\left( {x - 2} \right)\)

\[x = 2 + 7x - 14\]

\[x = 7x - 12\]

\[ - 6x = - 12\]

\[x = 2\] (không thỏa mãn).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

g) Điều kiện xác định \(x \ne - 7,\,\,x \ne \frac{3}{2}\).

\(\frac{{3x - 2}}{{x + 7}} = \frac{{6x + 1}}{{2x - 3}}\)\[\frac{{\left( {3x - 2} \right)\left( {2x - 3} \right)}}{{\left( {x + 7} \right)\left( {2x - 3} \right)}} = \frac{{\left( {6x + 1} \right)\left( {x + 7} \right)}}{{\left( {x + 7} \right)\left( {2x - 3} \right)}}\]

\(\left( {3x - 2} \right)\left( {2x - 3} \right) = \left( {6x + 1} \right)\left( {x + 7} \right)\)

\(6{x^2} - 9x - 4x + 6 = 6{x^2} + 42x + x + 7\)

\(6{x^2} - 6{x^2} - 9x - 4x - 42x - x = 7 - 6\)

\( - 56x = 1\)

\(x = - \frac{1}{{56}}\) (thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = - \frac{1}{{56}}\).

i) Điều kiện xác định \(x \ne 0;\,\,x \ne 3.\)

\(\frac{{x + 3}}{{x - 3}} = \frac{3}{{{x^2} - 3x}} + \frac{1}{x}\)

\(\frac{{\left( {x + 3} \right)x}}{{x\left( {x - 3} \right)}} = \frac{3}{{x\left( {x - 3} \right)}} + \frac{{x - 3}}{{x\left( {x - 3} \right)}}\)

\(\left( {x + 3} \right)x = 3 + x - 3\)

\({x^2} + 3x = 3 + x - 3\)

\({x^2} + 2x = 0\)

\(x\left( {x + 2} \right) = 0\)

\(x = 0\) hoặc \(x + 2 = 0\)

\( = 0\) (không thỏa mãn) hoặc \(x = - 2\) (thỏa mãn).

Vậy nghiệm phương trình đã cho là \(x = - 2\).

b) Điều kiện xác định: \(x \ne 0\).

\(\frac{{{x^2} - 6}}{x} = x + \frac{3}{2}\)

\(\frac{{2\left( {{x^2} - 6} \right)}}{{2x}} = \frac{{2x \cdot x}}{{2x}} + \frac{{3x}}{{2x}}\)

\(2\left( {{x^2} - 6} \right) = 2x \cdot x + 3x\)

\(2{x^2} - 12 = 2{x^2} + 3x\)

\(3x = - 12\)

\(x = - 4\) (thỏa mãn).

Vậy nghiệm phương trình đã cho là \[x = - 4\].

d) Điều kiện xác định: \(x \ne 0\).

\(\frac{3}{{8x}} - \frac{1}{{2x}} = \frac{1}{{{x^2}}}\)

\(\frac{{3x}}{{8{x^2}}} - \frac{{4x}}{{8{x^2}}} = \frac{8}{{8{x^2}}}\)

\(3x - 4x = 8\)

\( - x = 8\)

\(x = - 8\) (thỏa mãn).

Vậy nghiệm phương trình đã cho là \[x = - 8.\]

f) Điều kiện xác định: \(x \ne 3,\,\,x \ne - 2\).

\(\frac{2}{{x - 3}} = \frac{1}{{x + 2}}\)

\(\frac{{2\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{x - 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)

\(2\left( {x + 2} \right) = x - 3\)

\(2x + 4 = x - 3\)

\(x = - 7\) (thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = - 7\).

h) Điều kiện xác định \(x \ne - 1,\,\,x \ne 0\).

\(\frac{{2x + 1}}{{x + 1}} + \frac{2}{x} = \frac{2}{{x\left( {x + 1} \right)}}\)

\(\frac{{\left( {2x + 1} \right)x}}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{2}{{x\left( {x + 1} \right)}}\)

\(\left( {2x + 1} \right)x + 2\left( {x + 1} \right) = 2\)

\(2{x^2} + x + 2x + 2 = 2\)

\(2{x^2} + 3x = 0\)

\(x\left( {2x + 3} \right) = 0\)

\(x = 0\) hoặc \(2x + 3 = 0\)

\(x = 0\) (không thỏa mãn) hoặc \(x = - \frac{3}{2}\) (thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = - \frac{3}{2}\).

j) Điều kiện xác định: \(x \ne 0,\,\,x \ne 4\).

\(\frac{1}{x} - \frac{{x + 4}}{{x - 4}} = \frac{4}{{4x - {x^2}}}\)

\(\frac{1}{x} - \frac{{x + 4}}{{x - 4}} = \frac{{ - 4}}{{{x^2} - 4x}}\)

\(\frac{{x - 4}}{{x\left( {x - 4} \right)}} - \frac{{\left( {x + 4} \right)x}}{{x\left( {x - 4} \right)}} = \frac{{ - 4}}{{x\left( {x - 4} \right)}}\)

\(x - 4 - \left( {x + 4} \right)x = - 4\)

\(x - 4 - {x^2} - 4x = - 4\)

\( - {x^2} - 3x = 0\)

\( - x\left( {x + 3} \right) = 0\)

\( - x = 0\) hoặc \(x + 3 = 0\)

\(x = 0\) (không thỏa mãn) hoặc \(x = - 3\) (thỏa mãn).

Vậy nghiệm phương trình đã cho là \(x = - 3.\)

k) Điều kiện xác định: \(x \ne 2,\,\,\,x \ne - 2\).

\(\frac{{x + 2}}{{x - 2}} - \frac{{x - 2}}{{2 + x}} = \frac{{{x^2} + 16}}{{{x^2} - 4}}\)

\(\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{{x^2} + 16}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)

\({\left( {x + 2} \right)^2} - {\left( {x - 2} \right)^2} = {x^2} + 16\)

\({x^2} + 4x + 4 - \left( {{x^2} - 4x + 4} \right) = {x^2} + 16\)

\({x^2} + 4x + 4 - {x^2} + 4x - 4 = {x^2} + 16\)

\({x^2} - 8x + 16 = 0\)

\({\left( {x - 4} \right)^2} = 0\)

\(x - 4 = 0\)

\(x = 4\) (thỏa mãn)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = 4\).

l) Điều kiện xác định: \(xk - 4,\,\,x \ne 4\).

\(\frac{{2x - 5}}{{x + 4}} + \frac{x}{{4 - x}} = \frac{{ - 17x + 56}}{{{x^2} - 16}}\)

\(\frac{{2x - 5}}{{x + 4}} - \frac{x}{{x - 4}} = \frac{{ - 17x + 56}}{{{x^2} - 16}}\)

\(\frac{{\left( {2x - 5} \right)\left( {x - 4} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}} - \frac{{x\left( {x + 4} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}} = \frac{{ - 17x + 56}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}}\)

\(\left( {2x - 5} \right)\left( {x - 4} \right) - x\left( {x + 4} \right) = - 17x + 56\)

\(2{x^2} - 8x - 5x + 20 - {x^2} - 4x = - 17x + 56\)

\({x^2} = 36\)

\(x = 6\) hoặc \(x = - 6\) (thõa mãn)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = 6;\,\,x = - 6.\)

Câu 2

Giải các phương trình sau:

a) \(9{x^2}\left( {2x - 3} \right) = 0\).

b) \(\left( {x - 1} \right)\left( {3x - 6} \right) = 0\).

c) \(\left( {x + 2} \right)\left( {3 - 3x} \right) = 0\).

d) \(\left( {\frac{2}{3}x + 6} \right)\left( {8 - 2x} \right) = 0\).

e) \(\left( {4x + 2} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = 0\).

f) \(\left( {3x - 4} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {2x - 1} \right) = 0\).

g) \({\left( {3x - 2} \right)^2}\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\).

h) \({\left( {2x + 3} \right)^2} = {\left( {x - 5} \right)^2}\).

i) \(\left( {6x - 7} \right)\left( {3x + 4} \right) = \left( {7 - 6x} \right)\left( {x - 1} \right)\).

j) \(\left( {3x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) = {x^2} - 1\).

k) \( - 5\left( {4x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 2{\left( {4x - 1} \right)^2}\).

l) \({x^2} - 8x + 12 = 0\).

Xem đáp án

Lời giải

a) \(9{x^2}\left( {2x - 3} \right) = 0\)

\(9{x^2} = 0\) hoặc \(2x - 3 = 0\)

\({x^2} = 0\) hoặc \(2x = 3\)

\(x = 0\) hoặc \(x = \frac{3}{2}\).

Vậy phương trình đã cho có hai nghệm là \(x = 0;\) \(x = \frac{3}{2}\).

c) \(\left( {x + 2} \right)\left( {3 - 3x} \right) = 0\)

\(x + 2 = 0\) hoặc \(3 - 3x = 0\)

\(x = - 2\) hoặc \(3x = 3\)

\(x = - 2\) hoặc \(x = 1\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghệm là \(x = - 2;\) \(x = 1\).

e) \(\left( {4x + 2} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = 0\)

\(4x + 2 = 0\) (vì \({x^2} + 1 > 0\) với \(x \in \mathbb{R}\) tùy ý)

\(4x = - 2\)

\(x = \frac{{ - 1}}{2}\)

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là \(x = \frac{{ - 1}}{2}\).

g) \({\left( {3x - 2} \right)^2}\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\)

\({\left( {3x - 2} \right)^2} = 0\) hoặc \(x + 1 = 0\) hoặc \(x - 2 = 0\)

\(3x - 2 = 0\) hoặc \(x + 1 = 0\) hoặc \(x - 2 = 0\)

\(3x = 2\) hoặc \(x = - 1\) hoặc \(x = 2\)

\(x = \frac{2}{3}\) hoặc \(x = - 1\) hoặc \(x = 2\)

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là \(x = \frac{2}{3}\); \(x = - 1\) và \(x = 2\).

i) \(\left( {6x - 7} \right)\left( {3x + 4} \right) = \left( {7 - 6x} \right)\left( {x - 1} \right)\)

\(\left( {6x - 7} \right)\left( {3x + 4} \right) - \left( {7 - 6x} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\)

\(\left( {6x - 7} \right)\left( {3x + 4} \right) + \left( {6x - 7} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\)

\(\left( {6x - 7} \right)\left[ {\left( {3x + 4} \right) + \left( {x - 1} \right)} \right] = 0\)

\(\left( {6x - 7} \right)\left( {4x + 3} \right) = 0\)

\(6x - 7 = 0\) hoặc \(4x + 3 = 0\)

\(x = \frac{7}{6}\) hoặc \(x = \frac{{ - 3}}{4}\).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = \frac{7}{6};\) \(x = \frac{{ - 3}}{4}\).

k) \( - 5\left( {4x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 2{\left( {4x - 1} \right)^2}\)

\( - 5\left( {4x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) - 2{\left( {4x - 1} \right)^2} = 0\)

\(\left( {4x - 1} \right)\left[ { - 5\left( {x - 2} \right) - 2\left( {4x - 1} \right)} \right] = 0\)

\(\left( {4x - 1} \right)\left[ { - 5x + 10 - 8x + 2} \right] = 0\)

\(\left( {4x - 1} \right)\left( { - 13x + 12} \right) = 0\)

\(4x - 1 = 0\) hoặc \( - 13x + 12 = 0\)

\(x = \frac{1}{4}\) hoặc \(x = \frac{{12}}{{13}}\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = \frac{1}{4};\) \(x = \frac{{12}}{{13}}\).

b) \(\left( {x - 1} \right)\left( {3x - 6} \right) = 0\)

\(x - 1 = 0\) hoặc \(3x - 6 = 0\)

\(x = 1\) hoặc \(3x = 6\)

\(x = 1\) hoặc \(x = 2\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghệm là \(x = 1;\) \(x = 2\).

d) \(\left( {\frac{2}{3}x + 6} \right)\left( {8 - 2x} \right) = 0\)

\(\frac{2}{3}x + 6 = 0\) hoặc \(8 - 2x = 0\)

\(\frac{2}{3}x = - 6\) hoặc \(2x = 8\)

\(x = - 9\) hoặc \(x = 4\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = - 9;\) \(x = 4\).

f) \(\left( {3x - 4} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {2x - 1} \right) = 0\)

\(3x - 4 = 0\) hoặc \(x + 1 = 0\) hoặc \(2x - 1 = 0\)

\(3x = 4\) hoặc \(x = - 1\) hoặc \(2x = 1\)

\(x = \frac{4}{3}\) hoặc \(x = - 1\) hoặc \(x = \frac{1}{2}\)

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là \(x = \frac{4}{3}\); \(x = - 1\) và \(x = \frac{1}{2}\).

h) \({\left( {2x + 3} \right)^2} = {\left( {x - 5} \right)^2}\)

\({\left( {2x + 3} \right)^2} - {\left( {x - 5} \right)^2} = 0\)

\(\left( {2x + 3 - x + 5} \right){\left( {2x + 3 + x - 5} \right)^2} = 0\)

\(\left( {x + 8} \right)\left( {3x - 2} \right) = 0\)

\(x + 8 = 0\) hoặc \(3x - 2 = 0\)

\(x = - 8\) hoặc \(x = \frac{2}{3}\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = - 8;\;x = \frac{2}{3}.\)

j) \(\left( {3x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) = {x^2} - 1\)

\(\left( {3x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\)

\(\left( {x + 1} \right)\left[ {\left( {3x - 2} \right) - \left( {x - 1} \right)} \right] = 0\)

\(\left( {x + 1} \right)\left( {2x - 1} \right) = 0\)

\(x + 1 = 0\) hoặc \(2x - 1 = 0\)

\(x = - 1\) hoặc \(x = \frac{1}{2}\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = - 1;\) \(x = \frac{1}{2}\).

l) \({x^2} - 8x + 12 = 0\)

\({x^2} - 2x - 6x + 12 = 0\)

\(x\left( {x - 2} \right) - 6\left( {x - 2} \right) = 0\)

\(\left( {x - 2} \right)\left( {x - 6} \right) = 0\)

\(x - 2 = 0\) hoặc \(x - 6 = 0\)

\(x = 2\) hoặc \(x = 6\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = 2;\,\,x = 6.\)

Câu 3