Một công nhân dự kiến làm \(60\) sản phẩm trong một ngày. Do cải tiến kỹ thuật, anh đã làm được \(80\) sản phẩm một ngày. Vì vậy, anh đã hoàn thành kế hoạch sớm \(2\) ngày và còn làm thêm được \(40\) sản phẩm nữa. Tính số sản phẩm anh công nhân phải làm theo kế hoạch.

a) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{x} - \frac{1}{y} = 7\\\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 8\end{array} \right.\) (Điều kiện \(x \ne 0;y \ne 0)\)

Đặt \(\frac{1}{x} = a;\,\,\frac{1}{y} = b\), khi đó hệ phương trình đã cho trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}3a - b = 7\\2a + b = 8.\end{array} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được:

\(5a = 15,\) suy ra \(a = 3\).

Thay \(a = 3\) vào phương trình \(2a + b = 8,\) ta được:

\(2 \cdot 3 + b = 8,\) suy ra \(b = 2\).

Với \(a = 3\) ta có \(\frac{1}{x} = 3,\) suy ra \(x = \frac{1}{3}\) (thỏa mãn điều kiện);

Với \(b = 2\) ta có \(\frac{1}{y} = 2,\) suy ra \(y = \frac{1}{2}\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {\frac{1}{3};\,\,\frac{1}{2}} \right)\).

b) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{x} - \frac{4}{y} = 2\\\frac{4}{x} - \frac{5}{y} = 3\end{array} \right.\) (Điều kiện \(x \ne 0;y \ne 0).\)

Đặt \(\frac{1}{x} = a;\,\,\frac{1}{y} = b\), khi đó hệ phương trình đã cho trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}3a - 4b = 2\\4a - 5b = 3.\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ trên với \(4\) và nhân hai vế của phương trình thứ hai của hệ trên với 3, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}12a - 16b = 8\\12a - 15b = 9.\end{array} \right.\)

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

\( - b = - 1,\) suy ra \(b = 1.\)

Thay \(b = 1\) vào phương trình \(3a - 4b = 2,\) ta được:

\(3a - 4 \cdot 1 = 2,\) hay \(3a = 6,\) suy ra \(a = 2.\)

Với \(a = 2\) ta có \(\frac{1}{x} = 2,\) suy ra \(x = \frac{1}{2}\) (thỏa mãn điều kiện);

Với \(b = 1\) ta có \(\frac{1}{y} = 1,\) suy ra \(y = 1\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {\frac{1}{2};\,\,1} \right)\).

c) \[\left\{ \begin{array}{l}12x + 3y = 4xy\\\frac{9}{x} - \frac{8}{y} = 1\end{array} \right.\] (Điều kiện \(x \ne 0;y \ne 0).\)

Chia hai vế của phương trình thứ nhất của hệ đã cho cho \(xy\) (do \(xy \ne 0)\), ta được:

\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{12}}{y} + \frac{3}{x} = 4\\\frac{9}{x} - \frac{8}{y} = 1\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{x} + \frac{{12}}{y} = 4\\\frac{9}{x} - \frac{8}{y} = 1\end{array} \right.\]

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ trên với 3, ta được:

\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{9}{x} + \frac{{36}}{y} = 12\\\frac{9}{x} - \frac{8}{y} = 1\end{array} \right.\]

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

\(\frac{{44}}{y} = 11,\) suy ra \(y = 4\) (thỏa mãn điều kiện).

Thay \(y = 4\) vào phương trình \[\frac{9}{x} - \frac{8}{y} = 1\], ta được:

\[\frac{9}{x} - \frac{8}{4} = 1\] hay \[\frac{9}{x} - 2 = 1,\] do đó \(\frac{9}{x} = 3\) nên \(x = 3\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {3;\,\,4} \right)\).

d) \[\left\{ \begin{array}{l}2\left( {x + y} \right) + 3\left( {x - y} \right) = 4\\\left( {x + y} \right) + 2\left( {x - y} \right) = 5\end{array} \right.\]

Cách 1. Đặt \(a = x + y\) và \(b = x - y\), hệ phương trình đã cho trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}2a + 3b = 4\\a + 2b = 5.\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình thứ hai của hệ trên với 2, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}2a + 3b = 4\\2a + 4b = 10.\end{array} \right.\)

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

\( - b = - 6,\) suy ra \(b = 6.\)

Thay \(b = 6\) vào phương trình \(a + 2b = 5,\) ta được:

\(a + 2 \cdot 6 = 5,\) suy ra \(a = - 7.\)

Với \(a = - 7,\,\,b = 6\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = - 7\\x - y = 6.\end{array} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được:

\(2x = - 1\), suy ra \(x = - \frac{1}{2}\).

Thay \(x = - \frac{1}{2}\) vào phương trình \(x - y = 6,\) ta được:

\( - \frac{1}{2} - y = 6,\) suy ra \(y = - \frac{{13}}{2}.\)

Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất là \(\left( {x;y} \right) = \left( { - \frac{1}{2}; - \frac{{13}}{2}} \right)\).

Cách 2. \[\left\{ \begin{array}{l}2\left( {x + y} \right) + 3\left( {x - y} \right) = 4\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\left( {x + y} \right) + 2\left( {x - y} \right) = 5\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\]

Từ phương trình (1), ta có: \[2x + 2y + 3x - 3y = 4\] hay \(5x - y = 4.\)   (3)

Từ phương trình (2), ta có: \(x + y + 2x - 2y = 5\) hay \(3x - y = 5.\)   (4)

Từ (3) và (4) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}5x - y = 4\\3x - y = 5.\end{array} \right.\)

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

\(2x = - 1,\) suy ra \(x = - \frac{1}{2}.\)

Thay \(x = - \frac{1}{2}\) vào phương trình \(5x - y = 4,\) ta được:

\(5 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) - y = 4,\) hay \( - \frac{5}{2} - y = 4,\) suy ra \(y = - \frac{{13}}{2}.\)

Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất là \(\left( {x;y} \right) = \left( { - \frac{1}{2}; - \frac{{13}}{2}} \right)\).

e) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{{2x - y}} - \frac{6}{{x + y}} = - 1\\\frac{1}{{2x - y}} - \frac{1}{{x + y}} = 0\end{array} \right.\)   (Điều kiện xác định: \(y \ne 2x;\,\,y \ne - x).\)

Đặt \(\frac{1}{{2x - y}} = u;\,\,\frac{1}{{x + y}} = v\), hệ phương trình đã cho trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}3u - 6v = - 1\\u - v = 0.\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình thứ hai của hệ trên với 3, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}3u - 6v = - 1\\3u - 3v = 0.\end{array} \right.\)

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

\( - 3v = - 1\), suy ra \[v = \frac{1}{3}\].

Thay \[v = \frac{1}{3}\] vào phương trình \(u - v = 0,\) ta được: \(u - \frac{1}{3} = 0,\) suy ra \(u = \frac{1}{3}\).

Với \(u = \frac{1}{3}\) và \[v = \frac{1}{3}\], ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{2x - y}} = \frac{1}{3}\,\,\,\,\left( 5 \right)\\\frac{1}{{x + y}} = \frac{1}{3}\,\,\,\,\,\,\,\left( 6 \right)\end{array} \right.\)

Từ phương trình (5) ta có: \(2x - y = 3.\,\,\,\,\left( 7 \right)\)

Từ phương trình (6) ta có: \(x + y = 3.\,\,\,\,\left( 8 \right)\)

Từ (7) và (8) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 3\\x + y = 3\end{array} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được:

\(3x = 6\) hay \(x = 2\).

Thay \(x = 2\) vào phương trình \(x + y = 3,\) ta được: \(2 + y = 3\), suy ra \(y = 1\) (thỏa mãn).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {2;1} \right)\).

f) \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{5x}}{{x + 1}} + \frac{y}{{y - 3}} = 27\\\frac{{2x}}{{x + 1}} - \frac{{3y}}{{y - 3}} = 4\end{array} \right.\] (Điều kiện xác định: \[x \ne - 1;y \ne 3).\]

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ phương trình đã cho với \[3\], ta được:

\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{15x}}{{x + 1}} + \frac{{3y}}{{y - 3}} = 81\\\frac{{2x}}{{x + 1}} - \frac{{3y}}{{y - 3}} = 4.\end{array} \right.\]

Cộng từng vế hai phương trình của hệ trên, ta nhận được phương trình:

\[\frac{{17x}}{{x + 1}} = 85\]

\[\frac{x}{{x + 1}} = 5\]

\[5\left( {x + 1} \right) = x\]

\[5x + 5 = x\]

\[4x = - 5\]

\[x = \frac{{ - 5}}{4}\] (thỏa mãn).

Thế \[\frac{x}{{x + 1}} = 5\] vào phương trình \[\frac{{5x}}{{x + 1}} + \frac{y}{{y - 3}} = 27\], ta được:

\[5 \cdot 5 + \frac{y}{{y - 3}} = 27\]

\[\frac{y}{{y - 3}} = 2\]

\[2\left( {y - 3} \right) = y\]

\[2y - 6 = y\]

\[y = 6\] (thỏa mãn).

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \[\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{ - 5}}{4};6} \right).\]

Chú ý: Ta cũng có thể sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải hệ phương trình trên.