Cánh tay robot đặt trên mặt đất và có vị trí như hình vẽ bên. Tính độ cao của điểm \(A\) trên đầu cánh tay robot so với mặt đất.

Ta có: \[3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\]

\[ = {a^3} + a{b^2} + a{c^2} + {a^2}b + {b^3} + b{c^2} + {a^2}c + {b^2}c + {c^3}\]

\[ = \left( {{a^3} + a{b^2}} \right) + \left( {{b^3} + b{c^2}} \right) + \left( {{c^3} + c{a^2}} \right) + {a^2}b + {b^2}c + {c^2}a\].

Mà \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\) với mọi số thực dương \(a,\,\,b\) nên \[{a^2} + {b^2} \ge 2ab.\]

Suy ra \[{a^3} + a{b^2} \ge 2{a^2}b.\]

Tương tự, ta có: \[{b^3} + b{c^2} \ge 2{b^2}c;\] \[{c^3} + c{a^2} \ge 2{c^2}a.\]

Suy ra \[3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 3\left( {{a^2}b + {b^2}c + {c^2}a} \right) > 0\]

\[{a^2} + {b^2} + {c^2} \ge {a^2}b + {b^2}c + {c^2}a > 0\].

Mặt khác, \({\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca\)

Hay \({a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca = {3^2} = 9\)

\(2ab + 2bc + 2ca = 9 - \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)

Do đó \[P = {a^2} + {b^2} + {c^2} + \frac{{ab + bc + ca}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\]

\[ = {a^2} + {b^2} + {c^2} + \frac{{9 - \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}\]

\[ = {a^2} + {b^2} + {c^2} + \frac{9}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}} - \frac{1}{2}\].

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz với mọi số thực dương \(a,\,\,b,\,\,c\) ta có:

\({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{3} = \frac{{{3^2}}}{3} = 3.\)

Do đó \[P = {a^2} + {b^2} + {c^2} + \frac{9}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}} - \frac{1}{2}\]

\[ = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{2} + \frac{9}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}} + \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{1}{2}\]

\[ \ge 2\sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{2} \cdot \frac{9}{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}} + \frac{3}{2} - \frac{1}{2}\]

\[ = 2\sqrt {\frac{9}{4}} + \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{3}{2} + \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 4.\]

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = 1.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(4\) khi \(a = b = c = 1.\)

a) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + y = 0\,\,\,\,\,\left( {1a} \right)}\\{x + 2y = 5\,\,\,\,\,\left( {2a} \right)}\end{array}} \right.\)

Từ phương trình (1a), ta có \(y = - 3x.\,\,\,\left( {3a} \right)\)

Thế \(y = - 3x\) vào phương trình (2a), ta được:

\(x + 2 \cdot \left( { - 3x} \right) = 5\) hay \( - 5x = 5\) nên \(x = - 1\).

Thay \(x = - 1\) vào phương trình (3a), ta được: \(y = - 3 \cdot \left( { - 1} \right) = 3.\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( { - 1;\,\,3} \right)\).

b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 5y = 21\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {1b} \right)}\\{ - 6x + 3y = - 45\,\,\,\left( {2b} \right)}\end{array}} \right.\)

Từ phương trình (2a), ta có: \(x = 5y + 21.\,\,\,\left( {3b} \right)\)

Thế \(x = 5y + 21\) vào phương trình (2b), ta được:

\( - 6\left( {5y + 21} \right) + 3y = - 45\) hay \( - 30y - 126 + 3y = - 45\), suy ra \( - 27y = 81\) nên \(y = - 3\).

Thay \(y = - 3\) vào phương trình (3b), ta được:

\(x = 5 \cdot \left( { - 3} \right) + 21 = - 15 + 21 = 6.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {6; - 3} \right)\).

c) \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 4x + 5y = 8\,\,\,\,\left( {1c} \right)}\\{2x - y = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {2c} \right)}\end{array}} \right.\]

Từ phương trình (2c), ta có: \(y = 2x - 2.\,\,\,\left( {3c} \right)\)

Thế \(y = 2x - 2\) vào phương trình (1c), ta được:

\( - 4x + 5\left( {2x - 2} \right) = 8\) hay \( - 4x + 10x - 10 = 8\), suy ra \(6x = 18\) nên \(x = 3\).

Thay \(x = 3\) vào phương trình (3c), ta được:

\(y = 2 \cdot 3 - 2 = 4\).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {3;4} \right)\).

 d) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + 4y = - 6\,\,\,\,\,\left( {1d} \right)}\\{x - 4y = 14\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {2d} \right)}\end{array}} \right.\)

Từ phương trình (2d), ta có: \(x = 4y + 14.\,\,\,\,\left( {3d} \right)\)

Thế \(x = 4y + 14\) vào phương trình (1d), ta được:

\(3\left( {4y + 14} \right) + 4y = - 6\) hay \(12y + 42 + 4y = - 6\), suy ra \(16y = - 48\) nên \(y = - 3\).

Thay \(y = - 3\) vào phương trình (3d), ta được:

\(x = 4 \cdot \left( { - 3} \right) + 14 = - 12 + 14 = 2.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {2; - 3} \right)\).