Cho tam giác \(ABC\) nhọn, gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh \[A,{\rm{ }}B,C.\]  Chứng minh rằng: O10-2024-GV154.\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\).

a) Kẻ đường cao \(AH\)

\(\Delta ABH\) vuông tại \(H\), ta có: \(\sin B = \frac{{AH}}{{AB}} \Rightarrow AH = c.\sin B\)

\(\Delta AHC\) vuông tại \(H\), ta có: \(\sin C = \frac{{AH}}{{AC}} \Rightarrow AH = b.\sin C\)

Khi đó: \(c.\sin B = b.\sin C \Rightarrow \frac{c}{{\sin C}} = \frac{b}{{\sin B}}\) \(\left( 1 \right)\)

Kẻ đường cao \(BK\)

Chứng minh tương tự, ta có: \(c.\sin a = a.\sin C \Rightarrow \frac{c}{{\sin C}} = \frac{a}{{\sin A}}\) \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\), ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\) (đpcm).

b) Áp dụng tính chất tỉ lệ thức, ta có:\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} \Rightarrow \frac{a}{{\sin A}} = \frac{{b + c}}{{\sin B + \sin C}}\)

Đẳng thức \(\sin A = \sin B + \sin C\) sảy ra khi \(a = b + c\)( vô lý)

Vậy đẳng thức: \(\sin A = \sin B + \sin C\) không xảy ra.

Chọn C

Phương án A, B, D đúng.

Phương án C sai. Sửa lại: Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của góc \[\alpha ,\] kí hiệu \[\cot \alpha .\]